A absortividade de uma superfície pode ser definida como: para e para , sendo . O pode emissivo desta superfície pode ser determinado com a seguinte expressão: , sendo uma constante de proporcionalidade e . Calcular a absortividade média de uma superfície que se encontra com temperatura de 1500 K .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a absortividade média de uma superfície que está a uma temperatura de 1500 K. Para isso, vamos usar os valores de absortividade fornecidos para diferentes intervalos de comprimento de onda e a expressão da potência emissiva dessa superfície. Vamos precisar entender um pouco de radiometria, que estuda a medida de radiação, e integrar as funções para encontrar essa média.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os dados que temos:
  • A absortividade da superfície é:
    • para comprimentos de onda .
    • para comprimentos de onda .
  • Onde .
  • A potência emissiva é dada por:
    - é uma constante de proporcionalidade.
    - .
    - Temperatura .

Passo 3

Queremos calcular a absortividade média é, que basicamente é a média ponderada da absortividade nas diferentes faixas de comprimento de onda, considerando a potência emissiva em cada faixa. A fórmula para isso é:
é
Essa expressão divide a integral da absortividade ponderada pela potência emissiva total, nos dando uma média ponderada.

Passo 4

Vamos dividir a integral em duas partes, de acordo com os valores de :
  1. Para :
  2. Para :
Então, a integral fica:
é

Passo 5

Perceba que o denominador é a integral total da potência emissiva, que representa a potência total emitida pela superfície. As integrais no numerador são as potências emitidas em cada faixa de comprimento de onda, ponderadas pelas respectivas absortividades.
Vamos chamar o denominador de :
E as integrais no numerador de e :
Então, a absortividade média fica:
é

Passo 6

Agora, vamos observar que . Substituindo na expressão:
é
Isso simplifica para uma média ponderada das absortividades e , onde os pesos são as potências emissivas nas respectivas faixas de comprimento de onda.

Passo 7

Para avançar, precisamos calcular as integrais e . Vamos fazer uma mudança de variável para facilitar as integrais. Vamos definir:
Então, e
Substituindo na expressão de :

Passo 8

Agora, expressamos e em termos de :
Para , varia de a , então varia de a .
Para , varia de a , então varia de a .
Portanto:
Simplificando:
De maneira similar para :

Passo 9

Observamos que as integrais são expressões da função gama incompleta, que é definida como:
Comparando com nossas integrais, temos:
Onde é a função gama incompleta inferior:

Passo 10

Portanto, a absortividade média fica:
é
Sabemos que , e

Passo 11

Substituindo os valores numéricos:
Calculamos:

Passo 12

Agora, precisamos calcular e . Como é muito pequeno, e
Então:

Passo 13

Substituindo na expressão da absortividade média:
é
Simplificando:
é

Resposta

A absortividade média da superfície a 1500 K é aproximadamente 0,2.

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