A absortividade de uma superfície pode ser definida como: alpha1=0,2 para lambda <= lambda1 e alpha2=0,7 para lambda>lambda1, sendo lambda1=1,6 times 10^-6 m. O pode emissivo desta superfície pode ser determinado com a seguinte expressão: ET(lambda)=c1 lambda^-5 exp [-c2 / (lambda T)], sendo c1 uma constante de proporcionalidade e c2=0,0145 mK. Calcular a absortividade média de uma superfície que se encontra com temperatura de 1500 K .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a absortividade média de uma superfície que está a uma temperatura de 1500 K. Para isso, vamos usar os valores de absortividade fornecidos para diferentes intervalos de comprimento de onda e a expressão da potência emissiva dessa superfície. Vamos precisar entender um pouco de radiometria, que estuda a medida de radiação, e integrar as funções para encontrar essa média.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os dados que temos:
  • A absortividade alpha da superfície é:
    • alpha1 = 0,2 para comprimentos de onda lambda <= lambda1.
    • alpha2 = 0,7 para comprimentos de onda lambda > lambda1.
  • Onde lambda1 = 1,6 times 10^-6 , m.
  • A potência emissiva ET(lambda) é dada por: ET(lambda) = c1 lambda^-5 exp[-c2lambda T]
    - c1 é uma constante de proporcionalidade.
    - c2 = 0,0145 , mK.
    - Temperatura T = 1500 , K.

Passo 3

Queremos calcular a absortividade média alphamédiaé, que basicamente é a média ponderada da absortividade nas diferentes faixas de comprimento de onda, considerando a potência emissiva em cada faixa. A fórmula para isso é:
alphamédia = integral0^infty alpha(lambda) ET(lambda) , dlambdaintegral0^infty ET(lambda) , dlambdaé
Essa expressão divide a integral da absortividade ponderada pela potência emissiva total, nos dando uma média ponderada.

Passo 4

Vamos dividir a integral em duas partes, de acordo com os valores de alpha:
  1. Para lambda <= lambda1:
    • alpha(lambda) = alpha1 = 0,2
  2. Para lambda > lambda1:
    • alpha(lambda) = alpha2 = 0,7
Então, a integral fica:
alphamédia = alpha1 integral0^lambda1 ET(lambda) , dlambda + alpha2 integrallambda1^infty ET(lambda) , dlambdaintegral0^infty ET(lambda) , dlambdaé

Passo 5

Perceba que o denominador é a integral total da potência emissiva, que representa a potência total emitida pela superfície. As integrais no numerador são as potências emitidas em cada faixa de comprimento de onda, ponderadas pelas respectivas absortividades.
Vamos chamar o denominador de Ptotal:
Ptotal = integral0^infty ET(lambda) , dlambda
E as integrais no numerador de P1 e P2:
P1 = integral0^lambda1 ET(lambda) , dlambda
P2 = integrallambda1^infty ET(lambda) , dlambda
Então, a absortividade média fica:
alphamédia = alpha1 P1 + alpha2 P2Ptotalé

Passo 6

Agora, vamos observar que Ptotal = P1 + P2. Substituindo na expressão:
alphamédia = alpha1 P1 + alpha2 P2P1 + P2é
Isso simplifica para uma média ponderada das absortividades alpha1 e alpha2, onde os pesos são as potências emissivas nas respectivas faixas de comprimento de onda.

Passo 7

Para avançar, precisamos calcular as integrais P1 e P2. Vamos fazer uma mudança de variável para facilitar as integrais. Vamos definir:
x = c2lambda T
Então, lambda = c2x T e dlambda = -c2x^2 T dx
Substituindo na expressão de ET(lambda):
ET(lambda) = c1 (c2x T)^-5 exp(-x) = c1 (c2T)^-5 x^5 exp(-x)

Passo 8

Agora, expressamos P1 e P2 em termos de x:
Para P1, lambda varia de 0 a lambda1, então x varia de c2lambda1 T a infty.
Para P2, lambda varia de lambda1 a infty, então x varia de 0 a c2lambda1 T.
Portanto:
P1 = c1 (c2T)^-5 integralc2lambda1 T^infty x^5 exp(-x) (c2x^2 T) dx
Simplificando:
P1 = c1 (c2T)^-5 cdot c2T integralc2lambda1 T^infty x^3 exp(-x) dx
De maneira similar para P2:
P2 = c1 (c2T)^-5 cdot c2T integral0^c2lambda1 T x^3 exp(-x) dx

Passo 9

Observamos que as integrais são expressões da função gama incompleta, que é definida como:
Gamma(s, a) = integrala^infty x^s-1 e^-x dx
Comparando com nossas integrais, temos:
P1 = c1 (c2T)^-5 cdot c2T Gamma(4, c2lambda1 T)
P2 = c1 (c2T)^-5 cdot c2T gamma(4, c2lambda1 T)
Onde gamma(s, a) é a função gama incompleta inferior:
gamma(s, a) = integral0^a x^s-1 e^-x dx

Passo 10

Portanto, a absortividade média fica:
alphamédia = alpha1 Gamma(4, c2lambda1 T) + alpha2 gamma(4, c2lambda1 T)Gamma(4, c2lambda1 T) + gamma(4, c2lambda1 T)é
Sabemos que Gamma(4) = 3! = 6, e Gamma(4, a) + gamma(4, a) = Gamma(4) = 6

Passo 11

Substituindo os valores numéricos:
  • c2 = 0,0145 , mK = 0,0145 times 10^-3 , K m
  • lambda1 = 1,6 times 10^-6 , m
  • T = 1500 , K
Calculamos:
c2lambda1 T = 0,0145 times 10^-31,6 times 10^-6 times 1500 approx 0,0145 times 10^-32,4 times 10^-3 approx 0,00604

Passo 12

Agora, precisamos calcular Gamma(4, 0,00604) e gamma(4, 0,00604). Como a é muito pequeno, gamma(4, a) approx a^44 e Gamma(4, a) approx 6 - a^44
Então:
gamma(4, 0,00604) approx (0,00604)^44 approx 1,327 times 10^-74 approx 3,317 times 10^-8
Gamma(4, 0,00604) approx 6 - 3,317 times 10^-8 approx 6

Passo 13

Substituindo na expressão da absortividade média:
alphamédia = 0,2 times 6 + 0,7 times 3,317 times 10^-86 + 3,317 times 10^-8é
Simplificando:
alphamédia approx 1,2 + 2,322 times 10^-86 + 3,317 times 10^-8 approx 1,26 = 0,2é

Resposta

A absortividade média da superfície a 1500 K é aproximadamente 0,2.

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