A absortividade de uma superfície pode ser definida como:
para
e
para
, sendo
. O pode emissivo desta superfície pode ser determinado com a seguinte expressão:
, sendo
uma constante de proporcionalidade e
. Calcular a absortividade média de uma superfície que se encontra com temperatura de 1500 K .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a absortividade média de uma superfície que está a uma temperatura de 1500 K. Para isso, vamos usar os valores de absortividade fornecidos para diferentes intervalos de comprimento de onda e a expressão da potência emissiva dessa superfície. Vamos precisar entender um pouco de radiometria, que estuda a medida de radiação, e integrar as funções para encontrar essa média.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os dados que temos:
- A absortividade
da superfície é: -
para comprimentos de onda . -
para comprimentos de onda .
-
- Onde
. - A potência emissiva
é dada por:
-é uma constante de proporcionalidade.
-.
- Temperatura.
Passo 3
Queremos calcular a absortividade média
, que basicamente é a média ponderada da absortividade nas diferentes faixas de comprimento de onda, considerando a potência emissiva em cada faixa. A fórmula para isso é:
Essa expressão divide a integral da absortividade ponderada pela potência emissiva total, nos dando uma média ponderada.
Passo 4
Vamos dividir a integral em duas partes, de acordo com os valores de
:
- Para
: -
- Para
: -
Então, a integral fica:
Passo 5
Perceba que o denominador é a integral total da potência emissiva, que representa a potência total emitida pela superfície. As integrais no numerador são as potências emitidas em cada faixa de comprimento de onda, ponderadas pelas respectivas absortividades.
Vamos chamar o denominador de
:
E as integrais no numerador de
e
:
Então, a absortividade média fica:
Passo 6
Agora, vamos observar que
. Substituindo na expressão:
Isso simplifica para uma média ponderada das absortividades
e
, onde os pesos são as potências emissivas nas respectivas faixas de comprimento de onda.
Passo 7
Para avançar, precisamos calcular as integrais
e
. Vamos fazer uma mudança de variável para facilitar as integrais. Vamos definir:
Então,
e
Substituindo na expressão de
:
Passo 8
Agora, expressamos
e
em termos de
:
Para
,
varia de
a
, então
varia de
a
.
Para
,
varia de
a
, então
varia de
a
.
Portanto:
Simplificando:
De maneira similar para
:
Passo 9
Observamos que as integrais são expressões da função gama incompleta, que é definida como:
Comparando com nossas integrais, temos:
Onde
é a função gama incompleta inferior:
Passo 10
Portanto, a absortividade média fica:
Sabemos que
, e
Passo 11
Substituindo os valores numéricos:
Calculamos:
Passo 12
Agora, precisamos calcular
e
. Como
é muito pequeno,
e
Então:
Passo 13
Substituindo na expressão da absortividade média:
Simplificando:
Resposta
A absortividade média da superfície a 1500 K é aproximadamente 0,2.