No interior de um recipiente, calor produzido por decaimento radiativo incide nas paredes do recipiente numa taxa de
. A parede do recipiente é de aço (
) com espessura de 10 mm . Considerando-se que a temperatura é uniforme no interior do recipiente e que na superfície externa do recipiente,
0,17 , calcular as temperaturas das superfícies interna e externa do recipiente. O recipiente está trafegando no espaço sideral onde
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre transferência de calor por condução e radiação. A gente precisa descobrir as temperaturas nas superfícies interna e externa do recipiente. Para isso, vamos usar a condução de calor (fórmula de Fourier) e a radiação térmica. Precisamos dos seguintes dados:
- Taxa de calor incidente:
- Condutividade térmica do aço:
- Espessura da parede:
- Emissividade:
- Temperatura do espaço:
Vamos precisar das fórmulas de condução de calor e de radiação para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a condução de calor na parede do recipiente. A fórmula de Fourier para condução de calor é:
Onde:
-
é a taxa de calor por condução, -
é a temperatura interna, -
é a temperatura externa, -
é a condutividade térmica, -
é a espessura da parede.
Passo 3
Agora, vamos considerar a radiação térmica na superfície externa do recipiente. A taxa de calor perdida por radiação é dada por:
Onde:
-
é a taxa de calor por radiação, -
é a emissividade, -
é a constante de Stefan-Boltzmann ( ), -
é a temperatura externa, -
é a temperatura do espaço externo.
Passo 4
No estado estacionário, a taxa de calor que entra pela condução deve ser igual à taxa de calor que sai por radiação:
Então, igualando as duas expressões:
Passo 5
Nosso objetivo é encontrar as temperaturas
e
. Mas temos uma equação com duas incógnitas, então vamos precisar de uma relação adicional. Sabemos que a temperatura interna é uniforme, então podemos expressar
em termos de
:
Passo 6
Agora, substituímos os valores conhecidos na equação para resolver numericamente. Primeiro, vamos calcular a diferença de temperatura devido à radiação:
Substituindo os valores:
Passo 7
Essa equação é não linear e geralmente requer métodos numéricos para ser resolvida. Porém, podemos simplificar assumindo que
é muito menor, então
domina. Vamos então iterar para encontrar
e depois
.
Após realizar os cálculos, encontramos:
Resposta
As temperaturas das superfícies são aproximadamente
e
.