No interior de um recipiente, calor produzido por decaimento radiativo incide nas paredes do recipiente numa taxa de 550 W / m^2. A parede do recipiente é de aço ( k=43 W /(mK) ) com espessura de 10 mm . Considerando-se que a temperatura é uniforme no interior do recipiente e que na superfície externa do recipiente, varepsilon=alpha= 0,17 , calcular as temperaturas das superfícies interna e externa do recipiente. O recipiente está trafegando no espaço sideral onde T=2,73 K.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre transferência de calor por condução e radiação. A gente precisa descobrir as temperaturas nas superfícies interna e externa do recipiente. Para isso, vamos usar a condução de calor (fórmula de Fourier) e a radiação térmica. Precisamos dos seguintes dados:
  • Taxa de calor incidente:
  • Condutividade térmica do aço:
  • Espessura da parede:
  • Emissividade:
  • Temperatura do espaço:
Vamos precisar das fórmulas de condução de calor e de radiação para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a condução de calor na parede do recipiente. A fórmula de Fourier para condução de calor é:
qcond = k cdot (Tint - Text)L
Onde:
  • é a taxa de calor por condução,
  • é a temperatura interna,
  • é a temperatura externa,
  • é a condutividade térmica,
  • é a espessura da parede.

Passo 3

Agora, vamos considerar a radiação térmica na superfície externa do recipiente. A taxa de calor perdida por radiação é dada por:
qrad = varepsilon cdot sigma cdot (Text^4 - Tsurr^4)
Onde:
  • é a taxa de calor por radiação,
  • é a emissividade,
  • é a constante de Stefan-Boltzmann ( ),
  • é a temperatura externa,
  • é a temperatura do espaço externo.

Passo 4

No estado estacionário, a taxa de calor que entra pela condução deve ser igual à taxa de calor que sai por radiação:
qcond = qrad
Então, igualando as duas expressões:
k cdot (Tint - Text)L = varepsilon cdot sigma cdot (Text^4 - Tsurr^4)

Passo 5

Nosso objetivo é encontrar as temperaturas Tint = Text + varepsilon cdot sigma cdot Lk cdot (Text^4 - Tsurr^4) e . Mas temos uma equação com duas incógnitas, então vamos precisar de uma relação adicional. Sabemos que a temperatura interna é uniforme, então podemos expressar em termos de :

Passo 6

Agora, substituímos os valores conhecidos na equação para resolver numericamente. Primeiro, vamos calcular a diferença de temperatura devido à radiação:
De
Substituindo os valores:
De

Passo 7

Essa equação é não linear e geralmente requer métodos numéricos para ser resolvida. Porém, podemos simplificar assumindo que é muito menor, então domina. Vamos então iterar para encontrar e depois .
Após realizar os cálculos, encontramos:

Resposta

As temperaturas das superfícies são aproximadamente e .

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