(Acafe 2021) Se p(x)=(a+b) x^3+(5 a-b+4) x^2+(3 c+d) x+d+2 é polinômio nulo, então o valor de |a+c| é:
a) 13
b) 23
c) 2
d) 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos apresenta um polinômio que deve ser nulo, ou seja, igual a zero para todos os valores de . Precisamos encontrar o valor absoluto de . Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra, especificamente sobre polinômios e a igualdade de coeficientes.

Passo 2

Primeiro, entendamos o que significa o polinômio ser nulo. Um polinômio é nulo quando todos os seus coeficientes são iguais a zero. Então, vamos igualar cada coeficiente de a zero.

Passo 3

Vamos escrever as equações com base nos coeficientes de cada termo de a + b = 0 &(coeficiente de x^3) 5a - b + 4 = 0 &(coeficiente de x^2) 3c + d = 0 &(coeficiente de x) d + 2 = 0 &(termo constante) :

Passo 4

Vamos resolver o sistema de equações passo a passo. Começamos pelas primeiras duas equações que envolvem 5a - (-a) + 4 = 0 Rightarrow 6a + 4 = 0 Rightarrow 6a = -4 Rightarrow a = -46 = -23 e :
  1. Substituindo na segunda equação:
  1. Então,

Passo 5

Agora, vamos resolver as equações que envolvem 3c + (-2) = 0 Rightarrow 3c - 2 = 0 Rightarrow 3c = 2 Rightarrow c = 23 e :
  1. Da última equação:
  2. Substituindo na terceira equação:

Passo 6

Com os valores encontrados:
a = -23 e c = 23
Agora, calculamos |a + c| = | -23 + 23 | = |0| = 0 :

Resposta

A resposta correta é d) 0.

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