Sabendo que -3 é raiz do polinômio p(x)=2 x^3+k x^2, então, o valor de k é igual a:
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6

Passo 1

Vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos um polinômio dado por p(x) = 2x^3 + kx^2 e sabemos que -3 é uma raiz desse polinômio. Isso significa que, ao substituir x por -3, o resultado de p(-3) deve ser igual a zero. Para resolver esse problema, vamos usar o Teorema das Raízes, que nos diz que se a é uma raiz de um polinômio, então p(a) = 0. Precisamos encontrar o valor de k que satisfaz essa condição.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir x por -3 na expressão do polinômio:
p(-3) = 2(-3)^3 + k(-3)^2

Passo 3

Calculando as potências:
  • (-3)^3 = -27 porque um número negativo elevado a um expoente ímpar permanece negativo.
  • (-3)^2 = 9 porque um número negativo elevado a um expoente par se torna positivo.
Então, substituindo esses valores:
p(-3) = 2(-27) + k(9)

Passo 4

Multiplicando os termos:
p(-3) = -54 + 9k

Passo 5

Segundo o Teorema das Raízes, sabemos que p(-3) = 0. Vamos igualar a expressão a zero e resolver para k:
-54 + 9k = 0

Passo 6

Isolando k, adicionamos 54 aos dois lados da equação:
9k = 54

Passo 7

Finalmente, dividimos ambos os lados por 9 para encontrar o valor de k:
k = 549 = 6

Resposta

O valor de k é igual a 6. (Alternativa E)

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