According to clocks on the ground (system S), streetlights A and B (situated 4 km apart) were both turned on at precisely 8:00 p.M. Which one went on first according to an observer on a train (system S^prime ), which moves from A toward B at 35 the speed of light? How much later (in seconds) did the other light go on? Note: As always in relativity, we are talking here about what S^prime observed, after correcting for the time it took the light to reach her, not what she actually saw (which would depend on where she was located on the train).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um cenário onde duas lamparinas, A e B, estão separadas por 4 km e foram acesas exatamente às 8:00 p.M., de acordo com os relógios no chão (sistema S). Queremos descobrir qual das duas lamparinas foi acesa primeiro, segundo um observador que está em um trem (sistema ) que se move de A para B a uma velocidade de da velocidade da luz ( ). Para resolver isso, vamos usar a teoria da relatividade restrita, especificamente o conceito de relatividade da simultaneidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que, no sistema S, as duas lamparinas acendem ao mesmo tempo ( ). Porém, no sistema , que está se movendo, o tempo pode não ser o mesmo devido à relatividade da simultaneidade. Precisamos calcular a diferença de tempo ( ) entre os dois eventos no sistema .

Passo 3

A fórmula que nos ajuda nessa situação é:
De
Onde:
  • é o fator de Lorentz, dado por
  • é a velocidade do trem ( )
  • é a distância entre A e B (4 km = 4000 m)
  • é a velocidade da luz ( m/s)

Passo 4

Vamos calcular o fator de Lorentz ( gamma = 1raiz1 - ( 35 )^2 = 1raiz1 - 925 = 1raiz1625 = 54 ) primeiro:

Passo 5

Como De (as lamparinas acenderam ao mesmo tempo no sistema S), a fórmula simplifica para:
De
Substituindo os valores:

Passo 6

Simplificando a expressão:
De
De

Passo 7

O sinal negativo indica que, no sistema , o evento B (à frente do trem) ocorreu antes do evento A. Portanto, a lamparina B acendeu 10 microssegundos antes da lamparina A, segundo o observador no trem.

Resposta

Segundo o observador no trem, a lamparina B foi acesa primeiro, 10 microssegundos antes da lamparina A.

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