Find the Lab (B at rest) energy of A. [Answer: EA^ lab =(s-mA^2-mB^2) c^2 / 2 mB.]

Passo 1

Ok, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a energia de A no referencial de laboratório (onde B está em repouso). Vamos trabalhar com conceitos de física de partículas, especificamente usando a variável de Mandelstam, que é útil para descrever colisões de partículas. Para resolver isso, vamos precisar entender como relacionar a energia e o momento das partículas envolvidas usando a relatividade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a variável de Mandelstam s é definida como o quadrado da energia total no centro de massa do sistema. Matematicamente, ela é dada por:
s = (pA + pB)^2
onde pA e pB são os quatro-momentos das partículas A e B, respectivamente.

Passo 3

No referencial de laboratório, a partícula B está em repouso, o que significa que seu momento é zero. Portanto, seu quatro-momento simplifica para:
pB = (mB c, 0)
onde mB é a massa de B e c é a velocidade da luz.

Passo 4

A energia total no referencial de laboratório é a soma das energias das partículas. Como B está em repouso, sua energia é simplesmente sua massa multiplicada pela velocidade da luz ao quadrado:
EB = mB c^2
Para a partícula A, a energia total no referencial de laboratório será EA^lab.

Passo 5

Agora, vamos expressar s no referencial de laboratório:
s = (EA^lab + mB c^2)^2 - (pA c)^2
Mas também sabemos que, no centro de massa, s pode ser escrito em termos das massas das partículas:
s = mA^2 c^4 + mB^2 c^4 + 2 EA^lab mB c^4

Passo 6

Igualando as duas expressões para s, temos:
(EA^lab + mB c^2)^2 - (pA c)^2 = mA^2 c^4 + mB^2 c^4 + 2 EA^lab mB c^4
Resolvendo para EA^lab, encontramos:
EA^lab = s - mA^2 c^2 - mB^2 c^22 mB

Resposta

A energia de A no referencial de laboratório é:
EA^lab = (s - mA^2 - mB^2) c^22 mB

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