A second-rank tensor is called symmetric if it is unchanged when you switch the indices
; it is antisymmetric if it changes sign (
.
How many independent elements are there in a symmetric tensor? (Since
, these would count as only one independent element.)
How many independent elements are there in a symmetric tensor? (Since
Passo 1
Vamos entender o que a questão está perguntando. Temos um tensor de segunda ordem que é simétrico, ou seja, a componente
é igual a
. Nosso objetivo é descobrir quantos elementos independentes existem nesse tensor. Para resolver isso, precisamos saber como funcionam os tensores simétricos e quantas componentes únicas eles possuem.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um tensor de segunda ordem em um espaço de
dimensões tem, no total,
componentes. Por exemplo, em 3 dimensões, teríamos
componentes.
Passo 3
Como o tensor é simétrico, cada componente fora da diagonal principal é igual a sua transposta. Ou seja,
. Isso significa que essas componentes não são todas únicas; elas se repetem.
Passo 4
Para encontrar o número de elementos independentes, consideramos duas partes:
- Diagonal principal: onde
. Existem componentes aqui, e cada uma é única. - Fora da diagonal: onde
. Como cada par e são iguais, contamos apenas uma delas. Há pares únicos nessa parte.
Passo 5
Somando as duas partes, o número total de componentes independentes é:
Resposta
Um tensor simétrico de segunda ordem possui
elementos independentes.
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