A second-rank tensor is called symmetric if it is unchanged when you switch the indices (s^nu mu=s^mu nu); it is antisymmetric if it changes sign ( a^nu mu=-a^mu nu).
How many independent elements are there in a symmetric tensor? (Since s^12=s^21, these would count as only one independent element.)

Passo 1

Vamos entender o que a questão está perguntando. Temos um tensor de segunda ordem que é simétrico, ou seja, a componente s^nu mu é igual a s^mu nu. Nosso objetivo é descobrir quantos elementos independentes existem nesse tensor. Para resolver isso, precisamos saber como funcionam os tensores simétricos e quantas componentes únicas eles possuem.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um tensor de segunda ordem em um espaço de n dimensões tem, no total, n times n = n²² componentes. Por exemplo, em 3 dimensões, teríamos 3² = 9² componentes.

Passo 3

Como o tensor é simétrico, cada componente fora da diagonal principal é igual a sua transposta. Ou seja, s^nu mu = s^mu nu. Isso significa que essas componentes não são todas únicas; elas se repetem.

Passo 4

Para encontrar o número de elementos independentes, consideramos duas partes:
  1. Diagonal principal: onde nu = mu. Existem n componentes aqui, e cada uma é única.
  2. Fora da diagonal: onde nu neq mu. Como cada par s^nu mu e s^mu nu são iguais, contamos apenas uma delas. Há n(n-1)2 pares únicos nessa parte.

Passo 5

Somando as duas partes, o número total de componentes independentes é:
n , (diagonal) + n(n-1)2 , (fora da diagonal) = n(n+1)2

Resposta

Um tensor simétrico de segunda ordem possui n(n+1)2 elementos independentes.

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