How do densities transform? (If a container holds
molecules per unit volume in its own rest frame,
, how many molecules per unit volume does it carry in
?)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pergunta sobre como as densidades se transformam entre dois referenciais. Temos um recipiente que possui
moléculas por unidade de volume no seu próprio referencial de repouso, chamado
. A questão quer saber quantas moléculas por unidade de volume esse mesmo recipiente tem em outro referencial, chamado
. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre a Teoria da Relatividade Especial, especialmente sobre como medidas de comprimento e tempo mudam entre referenciais que estão em movimento relativo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que na Relatividade Especial, quando um objeto está se movendo em relação a um referencial, suas medidas de comprimento na direção do movimento sofrem uma contração. Isso é conhecido como contração do comprimento. A fórmula para isso é:
onde:
-
é o comprimento no referencial , -
é o comprimento no referencial em repouso , -
é o fator de Lorentz, dado por , -
é a velocidade relativa entre os referenciais, -
é a velocidade da luz.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso ao volume do recipiente. Supondo que o movimento relativo entre os referenciais está em uma direção específica (por exemplo, na direção x), apenas as dimensões nessa direção sofrem contração. Se o recipiente é cúbico para simplificar, o volume no referencial
será menor que no
devido à contração do comprimento.
O volume no referencial
será:
onde
é o volume no referencial em repouso
.
Passo 4
A densidade é definida como o número de moléculas por unidade de volume. No referencial
, a densidade é
, onde
é o número total de moléculas (que permanece inalterado porque estamos apenas mudando de referencial, não o número de moléculas).
No referencial
, a densidade será:
Isso significa que a densidade no referencial
é maior que no
pelo fator
.
Resposta
A densidade no referencial
é
, onde
.