How do densities transform? (If a container holds rho^prime molecules per unit volume in its own rest frame, S^prime, how many molecules per unit volume does it carry in S ?)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pergunta sobre como as densidades se transformam entre dois referenciais. Temos um recipiente que possui rho^prime moléculas por unidade de volume no seu próprio referencial de repouso, chamado S^prime. A questão quer saber quantas moléculas por unidade de volume esse mesmo recipiente tem em outro referencial, chamado S. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre a Teoria da Relatividade Especial, especialmente sobre como medidas de comprimento e tempo mudam entre referenciais que estão em movimento relativo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que na Relatividade Especial, quando um objeto está se movendo em relação a um referencial, suas medidas de comprimento na direção do movimento sofrem uma contração. Isso é conhecido como contração do comprimento. A fórmula para isso é:
L = L^primegamma
onde:
  • L é o comprimento no referencial S,
  • L^prime é o comprimento no referencial em repouso S^prime,
  • gamma é o fator de Lorentz, dado por gamma = 1raiz1 - v^2c^2,
  • v é a velocidade relativa entre os referenciais,
  • c é a velocidade da luz.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso ao volume do recipiente. Supondo que o movimento relativo entre os referenciais está em uma direção específica (por exemplo, na direção x), apenas as dimensões nessa direção sofrem contração. Se o recipiente é cúbico para simplificar, o volume no referencial S será menor que no S^prime devido à contração do comprimento.
O volume no referencial S será:
V = V^primegamma
onde V^prime é o volume no referencial em repouso S^prime.

Passo 4

A densidade é definida como o número de moléculas por unidade de volume. No referencial S^prime, a densidade é rho^prime = NV^prime, onde N é o número total de moléculas (que permanece inalterado porque estamos apenas mudando de referencial, não o número de moléculas).
No referencial S, a densidade será:
rho = NV = NV^primegamma = rho^prime gamma
Isso significa que a densidade no referencial S é maior que no S^prime pelo fator gamma.

Resposta

A densidade no referencial S é rho = rho^prime gamma, onde gamma = 1raiz1 - v^2c^2.

Exercícios relacionados