How do densities transform? (If a container holds molecules per unit volume in its own rest frame, , how many molecules per unit volume does it carry in ?)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pergunta sobre como as densidades se transformam entre dois referenciais. Temos um recipiente que possui moléculas por unidade de volume no seu próprio referencial de repouso, chamado . A questão quer saber quantas moléculas por unidade de volume esse mesmo recipiente tem em outro referencial, chamado . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre a Teoria da Relatividade Especial, especialmente sobre como medidas de comprimento e tempo mudam entre referenciais que estão em movimento relativo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que na Relatividade Especial, quando um objeto está se movendo em relação a um referencial, suas medidas de comprimento na direção do movimento sofrem uma contração. Isso é conhecido como contração do comprimento. A fórmula para isso é:
onde:
  • é o comprimento no referencial ,
  • é o comprimento no referencial em repouso ,
  • é o fator de Lorentz, dado por ,
  • é a velocidade relativa entre os referenciais,
  • é a velocidade da luz.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso ao volume do recipiente. Supondo que o movimento relativo entre os referenciais está em uma direção específica (por exemplo, na direção x), apenas as dimensões nessa direção sofrem contração. Se o recipiente é cúbico para simplificar, o volume no referencial será menor que no devido à contração do comprimento.
O volume no referencial será:
onde é o volume no referencial em repouso .

Passo 4

A densidade é definida como o número de moléculas por unidade de volume. No referencial , a densidade é , onde é o número total de moléculas (que permanece inalterado porque estamos apenas mudando de referencial, não o número de moléculas).
No referencial , a densidade será:
Isso significa que a densidade no referencial é maior que no pelo fator .

Resposta

A densidade no referencial é , onde .

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