According to Yukawa
V(r)=-K e^-alpha rr, K, alpha>0
(a) Find the force, and compare it with an inverse square law of force.
(b) Discuss the types of motion which can occur if a particle of mass m moves under such a force.
© Discuss how the motions will be expected to differ from the corresponding types of motion for an inverse square law of force.
(d) Find L and E for motion in a circle of radius a.
(e) Find the period of circular motion and the period of small radial oscillations.
(f) Show that the nearly circular orbits are almost closed when a is very small.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no enunciado. A gente tem uma função de potencial , onde e são positivos. Esse tipo de potencial é conhecido como potencial de Yukawa. O problema está dividido em várias partes, de (a) até (f). Vamos precisar entender como calcular a força a partir do potencial, comparar com a lei do inverso do quadrado, analisar os tipos de movimento sob essa força, e explorar algumas características específicas do movimento circular e das órbitas quase circulares.

Passo 2

Vamos começar pela parte (a): Encontrar a força e comparar com a lei do inverso do quadrado. Sabemos que a força é o negativo do gradiente do potencial, ou seja, . No caso de um potencial que depende apenas da distância , a força será radial. Então, vamos calcular a derivada de em relação a .

Passo 3

Calculando a derivada de F(r) = -dVdr = -ddr ( -K e^-alpha rr ) = K ddr ( e^-alpha rr ) :
ddr ( e^-alpha rr ) = -alpha e^-alpha r cdot r - e^-alpha r cdot 1 r^2 = -e^-alpha r alpha r + 1 r^2
Usando a regra do quociente:
F(r) = K cdot ( -e^-alpha r alpha r + 1 r^2 ) = -K (alpha r + 1 ) e^-alpha r r^2
Portanto:

Passo 4

Agora, vamos comparar essa força com a lei do inverso do quadrado, que é , onde é a constante gravitacional, e são as massas. Observamos que ambas as forças caem como , mas a força de Yukawa tem um fator extra , que depende de de uma maneira mais complexa devido ao termo exponencial.

Passo 5

Vamos para a parte (b): Discutir os tipos de movimento que podem ocorrer se uma partícula de massa se move sob essa força. Assim como na lei do inverso do quadrado, podemos esperar movimentos circulares, elípticos, parabólicos e hiperbólicos, dependendo da energia e do momento angular da partícula. No entanto, devido ao fator exponencial, a natureza da força muda com a distância, o que pode afetar a estabilidade e a forma das órbitas.

Passo 6

Na parte ©, precisamos discutir como os movimentos esperados diferem dos correspondentes sob a lei do inverso do quadrado. A presença do termo faz com que a força de Yukawa tenha um alcance finito, o que significa que além de uma certa distância, a força se torna muito pequena. Isso contrasta com a lei do inverso do quadrado, onde a força nunca se anula completamente. Portanto, órbitas podem ser mais complexas e menos estáveis sob a força de Yukawa, podendo apresentar comportamentos oscilatórios ou mudar de regime dependendo da distância.

Passo 7

Vamos para a parte (d): Encontrar o momento angular F(a) = m v^2a e a energia para um movimento em círculo de raio . Em um movimento circular, a força central fornece a força centrípeta necessária para manter a trajetória circular. Então, temos:
Sabemos que a velocidade angular , e o momento angular .

Passo 8

A energia total E = T + V(a) = 12 m v^2 + V(a) em um movimento circular é a soma da energia cinética E = 12 m a^2 omega^2 + V(a) e da energia potencial :
Substituindo , temos:

Passo 9

Para a parte (e), precisamos encontrar o período da movimentação circular e o período das pequenas oscilações radiais. O período Tcirc = 2piomega do movimento circular é dado por:
Tosc = 2piraizk/m
Para as oscilações radiais pequenas, podemos usar a aproximação de que a força restauradora é proporcional ao deslocamento, comparando com um oscilador harmônico. O período será:
onde está relacionado à segunda derivada do potencial em .

Passo 10

Finalmente, na parte (f), devemos mostrar que as órbitas quase circulares são quase fechadas quando é muito pequeno. Quando é pequeno, também é pequeno, e o fator pode ser aproximado por 1. Isso faz com que a força de Yukawa se aproxime da lei do inverso do quadrado, resultando em órbitas que são quase fechadas, similares às órbitas elípticas de Kepler.

Resposta

Resumindo, na parte (a) encontramos que a força derivada do potencial de Yukawa é , que se compara à força do inverso do quadrado com um fator adicional dependente de . As demais partes envolvem análises dos tipos de movimento, diferenças com a lei do inverso do quadrado, cálculo do momento angular e energia para movimentos circulares, determinação dos períodos das diferentes oscilações, e a observação de que órbitas quase fechadas ocorrem para pequenos valores de .

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V(r)=K r^4, K>0
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