A particle of mass m moves under the action of a central force whose potential is
V(r)=K r^4, K>0
For what energy and angular momentum will the orbit be a circle of radius a about the origin? What is the period of this circular motion? If the particle is slightly disturbed from this circular motion, what will be the period of small radial oscillations about r=a ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, o enunciado fala sobre uma partícula de massa que se move sob a ação de uma força central com um potencial , onde . O conteúdo que vamos utilizar aqui envolve mecânica clássica, especificamente movimento em forças centrais, energia total, momento angular, e análise de oscilações ao redor de órbitas circulares. Para resolver, vamos precisar das fórmulas da energia cinética, energia potencial, e condições para órbitas circulares estáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as condições para que a órbita seja circular de raio F(r) = -dVdr = -4K r^3 . Para uma órbita circular, a força central deve fornecer a força centrípeta necessária para manter a partícula na trajetória circular. A força central é derivada do potencial:
Fcentrípeta = m v^2r = L^2m r^3
A força centrípeta necessária é:
4K a^3 = L^2m a^3 í
Aqui, L^2 = 4K m a^6 é o momento angular da partícula.
Para órbita circular, L = raiz4K m , a^3 í:
Resolvendo para :

Passo 3

Agora, vamos calcular a energia total E = T + V da partícula na órbita circular. A energia total é a soma da energia cinética T = 12 m v^2 = L^22 m r^2 = 4K m a^62 m a^2 = 2 K a^4 e da energia potencial V(a) = K a^4 :
E = 2 K a^4 + K a^4 = 3 K a^4
A energia cinética para movimento circular é:
A energia potencial no raio é:
Então, a energia total é:

Passo 4

Agora, vamos encontrar o período L = m omega a^2 do movimento circular. O período é o tempo que a partícula leva para completar uma volta. Sabemos que a velocidade angular raiz4K m , a^3 = m omega a^2 está relacionada ao momento angular omega = raiz4K m , a^3m a^2 = raiz4Km , a por:
T = 2piomega = 2piraiz4Km , a = pi raizmraizK , a
Substituindo :
O período é:

Passo 5

Finalmente, vamos analisar o comportamento da partícula quando ela é ligeiramente perturbada de sua órbita circular, ou seja, pequenoscilizações radiais ao redor de Vefetivo(r) = V(r) + L^22 m r^2 = K r^4 + 4K m a^62 m r^2 = K r^4 + 2K a^6r^2 . O período das oscilações radiais pode ser encontrado utilizando a frequência das oscilações em torno do potencial efetivo.
O potencial efetivo omegaosc = raiz1m d^2Vefetivodr^2 |r=a é:
dVefetivodr = 4K r^3 - 4K a^6r^3
Para pequenas oscilações, aproximamos d^2Vefetivodr^2 = 12K r^2 + 12K a^6r^4 em torno de d^2Vefetivodr^2 |r=a = 12K a^2 + 12K a^6a^4 = 12K a^2 + 12K a^2 = 24K a^2 usando uma expansão de Taylor até o segundo termo. A frequência das oscilações é dada por:
omegaosc = raiz24K a^2m = raiz24Km , a
Calculando a segunda derivada:
Tosc = 2piomegaosc = 2piraiz24Km , a = pi raizmraiz6K , a
Avaliado em :
Então:
O período das oscilaç��es radiais é:

Resposta

  1. A energia necessária para uma órbita circular de raio é e o momento angular é .
  2. O período do movimento circular é .
  3. O período das pequenas oscilações radiais ao redor de é .

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