Find the frequency of small radial oscillations about steady circular motion for the effective potential for an attractive inverse square law force, and show that it is equal to the frequency of revolution.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a frequência das pequenas oscilações radiais em torno de um movimento circular estável, usando o potencial efetivo para uma força de lei do inverso do quadrado atrativa. Além disso, precisamos mostrar que essa frequência é igual à frequência de revolução. Para isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica clássica, como potencial efetivo, movimento circular e oscilações pequenas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o potencial efetivo. Em um sistema onde uma partícula está sob a influência de uma força central, podemos reescrever a equação do movimento usando o potencial efetivo . Esse potencial leva em conta tanto o potencial da força central quanto o efeito da força centrípeta devido ao momento angular. Matemáticamente, é dado por:
Aqui, é o potencial da força central, é o momento angular, é a massa da partícula e é a distância radial.
Passo 3
No caso de uma força de lei do inverso do quadrado atrativa, como a força gravitacional ou a força elétrica, o potencial é proporcional a . Vamos assumir que:
Onde é uma constante positiva que representa a intensidade da força.
Passo 4
Agora, substituímos na expressão do potencial efetivo:
Para encontrar o ponto de equilíbrio, onde ocorre o movimento circular estável, derivamos em relação a e igualamos a zero:
Resolvendo para :
Esse é o raio do movimento circular estável.
Passo 5
Para encontrar a frequência das pequenas oscilações radiais, usamos a segunda derivada do potencial efetivo no ponto de equilíbrio:
Calculando a segunda derivada de d^2 Vefetivodr^2 = -2kr^3 + 3L^2mr^4 :
Agora, vamos encontrar a frequência de revolução. A frequência de revolução Omega = vr0 está relacionada ao período mv^2r0 = kr0^2 implies v = raizkm r0 = raizkm cdot L^2mk = raizk^2L^2 = kL pela relação Omega = kLr0 = kL cdot L^2mk = mk^2L^3 . Sabemos que para o movimento circular, a velocidade angular omega = Omega é dada por:
Onde é a velocidade tangencial. A força centrípeta é igual à força central:
Então,
Isso mostra que:
Resposta
A frequência das pequenas oscilações radiais é igual à frequência de revolução, isto é, .