A particle of mass m moves with constant speed v around a circle of radius r, starting at t=0 from a point P on the circle. Find the angular momentum about the point P at any time t, the force, and the torque about P .

Passo 1

Vamos lá! Temos uma partícula de massa que se move com velocidade constante ao redor de um círculo de raio , começando no ponto no tempo . Vamos precisar entender conceitos de momento angular, força centrípeta e torque para resolver esse exercício.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o momento angular da partícula em relação ao ponto L = r times p a qualquer tempo . O momento angular em relação a um ponto é dado por:
onde é o vetor posição da partícula em relação a e é o momento linear.

Passo 3

Como a partícula está se movendo em um círculo, a posição dela em qualquer tempo r(t) = r cos(omega t) , i + r sin(omega t) , j pode ser descrita em coordenadas polares:
onde é a frequência angular.

Passo 4

O momento linear p = mv = m v (-sin(omega t) , i + cos(omega t) , j) é:
L = r times p = m v r (cos(omega t) cos(omega t) + sin(omega t) sin(omega t)) k = m v r k
Agora, fazemos o produto vetorial :
Então, o momento angular é constante e perpendicular ao plano do movimento.

Passo 5

Agora, vamos determinar a força que atua na partícula. Como a velocidade é constante, a força deve ser centrípeta, direcionada para o centro do círculo:
F = -mv^2r r
A magnitude da força é e aponta para o centro do círculo.

Passo 6

Por último, vamos calcular o torque em relação ao ponto tau = r times F . O torque tau = r r times ( -mv^2r r ) = 0 é dado por:
Substituindo e :
Porque o vetor força está na mesma direção de , o produto vetorial é zero. Portanto, não há torque sobre a partícula em relação a .

Resposta

O momento angular sobre o ponto é , a força centrípeta é e o torque sobre é .

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A particle of mass m moves under the action of a central force whose potential is
V(r)=K r^4, K>0
For what energy and angular momentum will the orbit be a circle of radius a about the origin? What is the period of this circular motion? If the particle is slightly disturbed from this circular motion, what will be the period of small radial oscillations about r=a ?
According to Yukawa
V(r)=-K e^-alpha rr, K, alpha>0
(a) Find the force, and compare it with an inverse square law of force.
(b) Discuss the types of motion which can occur if a particle of mass m moves under such a force.
© Discuss how the motions will be expected to differ from the corresponding types of motion for an inverse square law of force.
(d) Find L and E for motion in a circle of radius a.
(e) Find the period of circular motion and the period of small radial oscillations.
(f) Show that the nearly circular orbits are almost closed when a is very small.