A particle of mass m moves with constant speed v around a circle of radius r, starting at t=0 from a point P on the circle. Find the angular momentum about the point P at any time t, the force, and the torque about P .

Passo 1

Vamos lá! Temos uma partícula de massa que se move com velocidade constante ao redor de um círculo de raio , começando no ponto no tempo . Vamos precisar entender conceitos de momento angular, força centrípeta e torque para resolver esse exercício.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o momento angular da partícula em relação ao ponto L = r times p a qualquer tempo . O momento angular em relação a um ponto é dado por:
onde é o vetor posição da partícula em relação a e é o momento linear.

Passo 3

Como a partícula está se movendo em um círculo, a posição dela em qualquer tempo r(t) = r cos(omega t) , i + r sin(omega t) , j pode ser descrita em coordenadas polares:
onde é a frequência angular.

Passo 4

O momento linear p = mv = m v (-sin(omega t) , i + cos(omega t) , j) é:
L = r times p = m v r (cos(omega t) cos(omega t) + sin(omega t) sin(omega t)) k = m v r k
Agora, fazemos o produto vetorial :
Então, o momento angular é constante e perpendicular ao plano do movimento.

Passo 5

Agora, vamos determinar a força que atua na partícula. Como a velocidade é constante, a força deve ser centrípeta, direcionada para o centro do círculo:
F = -mv^2r r
A magnitude da força é e aponta para o centro do círculo.

Passo 6

Por último, vamos calcular o torque em relação ao ponto tau = r times F . O torque tau = r r times ( -mv^2r r ) = 0 é dado por:
Substituindo e :
Porque o vetor força está na mesma direção de , o produto vetorial é zero. Portanto, não há torque sobre a partícula em relação a .

Resposta

O momento angular sobre o ponto é , a força centrípeta é e o torque sobre é .

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