A particle of mass
moves with constant speed
around a circle of radius
, starting at
from a point P on the circle. Find the angular momentum about the point P at any time
, the force, and the torque about P .
Passo 1
Vamos lá! Temos uma partícula de massa
que se move com velocidade constante
ao redor de um círculo de raio
, começando no ponto
no tempo
. Vamos precisar entender conceitos de momento angular, força centrípeta e torque para resolver esse exercício.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o momento angular da partícula em relação ao ponto
a qualquer tempo
. O momento angular
em relação a um ponto é dado por:
onde
é o vetor posição da partícula em relação a
e
é o momento linear.
Passo 3
Como a partícula está se movendo em um círculo, a posição dela em qualquer tempo
pode ser descrita em coordenadas polares:
onde
é a frequência angular.
Passo 4
O momento linear
é:
Agora, fazemos o produto vetorial
:
Então, o momento angular é constante e perpendicular ao plano do movimento.
Passo 5
Agora, vamos determinar a força que atua na partícula. Como a velocidade é constante, a força deve ser centrípeta, direcionada para o centro do círculo:
A magnitude da força é
e aponta para o centro do círculo.
Passo 6
Por último, vamos calcular o torque em relação ao ponto
. O torque
é dado por:
Substituindo
e
:
Porque o vetor força está na mesma direção de
, o produto vetorial é zero. Portanto, não há torque sobre a partícula em relação a
.
Resposta
O momento angular sobre o ponto
é
, a força centrípeta é
e o torque sobre
é
.