Mostre que o caminho y=y(x) para o qual a integral integralx1^x2 x raiz1-y^prime 2 d x é estacionária é uma função arcsenh.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma integral definida de a de vezes a raiz quadrada de em relação a . Queremos encontrar a função que torna essa integral estacionária, ou seja, que faz com que a integral não mude para pequenas variações de . Para isso, vamos utilizar o Cálculo Variacional, especificamente a Equação de Euler-Lagrange.

Passo 2

A Equação de Euler-Lagrange nos dá uma condição que a função ddx ( partial Lpartial y' ) - partial Lpartial y = 0 deve satisfazer para que a integral seja estacionária. Ela é dada por:
Aqui, é o integrando da nossa integral, ou seja, .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
  1. Derivada parcial de partial Lpartial y' = x cdot ddy' ( raiz1 - y'^2 ) = x cdot ( -y'raiz1 - y'^2 ) = -x y'raiz1 - y'^2 em relação a partial Lpartial y = 0 :
  1. Derivada parcial de em relação a :
Observamos que não depende diretamente de , apenas de . Portanto:

Passo 4

Substituímos essas derivadas na Equação de Euler-Lagrange:
ddx ( -x y'raiz1 - y'^2 ) - 0 = 0
Simplificando:
ddx ( -x y'raiz1 - y'^2 ) = 0

Passo 5

Isso significa que a expressão dentro da derivada é constante. Vamos chamar essa constante de -x y'raiz1 - y'^2 = C :
x y'raiz1 - y'^2 = -C
Podemos multiplicar ambos os lados por para simplificar:

Passo 6

Vamos resolver a equação para x y'raiz1 - y'^2 = -C Rightarrow y' = -C raiz1 - y'^2x :
(y')^2 = C^2 (1 - y'^2)x^2
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
x^2 (y')^2 = C^2 (1 - y'^2)
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 7

Reorganizamos os termos para isolar x^2 (y')^2 + C^2 (y')^2 = C^2 :
y'^2 (x^2 + C^2) = C^2
Fatorando y'^2 = C^2x^2 + C^2 :
y' = pm Craizx^2 + C^2
Assim:
Tomando a raiz quadrada de ambos os lados:

Passo 8

Agora, temos uma equação diferencial para y = pm integral Craizx^2 + C^2 , dx + D . Vamos integrar para encontrar integral Craizx^2 + C^2 , dx = C cdot sinh^-1 ( xC ) + D :
onde é a constante de integração.
Usando a integral conhecida:

Passo 9

Portanto, a solução geral para y(x) = pm C cdot sinh^-1 ( xC ) + D é:
Considerando as condições iniciais (que não são fornecidas no enunciado), podemos ajustar as constantes e .

Resposta

O caminho que torna a integral estacionária é dado por uma função arco seno hiperbólico ( y(x) = sinh^-1 ( xC ) + D ), ou seja:
Onde e são constantes que podem ser determinadas com base em condições iniciais específicas.

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