Mostre que o caminho
para o qual a integral
é estacionária é uma função arcsenh.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma integral definida de
a
de
vezes a raiz quadrada de
em relação a
. Queremos encontrar a função
que torna essa integral estacionária, ou seja, que faz com que a integral não mude para pequenas variações de
. Para isso, vamos utilizar o Cálculo Variacional, especificamente a Equação de Euler-Lagrange.
Passo 2
A Equação de Euler-Lagrange nos dá uma condição que a função
deve satisfazer para que a integral seja estacionária. Ela é dada por:
Aqui,
é o integrando da nossa integral, ou seja,
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
- Derivada parcial de
em relação a :
- Derivada parcial de
em relação a :
Observamos que
não depende diretamente de
, apenas de
. Portanto:
Passo 4
Substituímos essas derivadas na Equação de Euler-Lagrange:
Simplificando:
Passo 5
Isso significa que a expressão dentro da derivada é constante. Vamos chamar essa constante de
:
Podemos multiplicar ambos os lados por
para simplificar:
Passo 6
Vamos resolver a equação para
:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 7
Reorganizamos os termos para isolar
:
Fatorando
:
Assim:
Tomando a raiz quadrada de ambos os lados:
Passo 8
Agora, temos uma equação diferencial para
. Vamos integrar para encontrar
:
onde
é a constante de integração.
Usando a integral conhecida:
Passo 9
Portanto, a solução geral para
é:
Considerando as condições iniciais (que não são fornecidas no enunciado), podemos ajustar as constantes
e
.
Resposta
O caminho que torna a integral estacionária é dado por uma função arco seno hiperbólico (
), ou seja:
Onde
e
são constantes que podem ser determinadas com base em condições iniciais específicas.