Mostre que o caminho para o qual a integral é estacionária é uma função arcsenh.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma integral definida de a de vezes a raiz quadrada de em relação a . Queremos encontrar a função que torna essa integral estacionária, ou seja, que faz com que a integral não mude para pequenas variações de . Para isso, vamos utilizar o Cálculo Variacional, especificamente a Equação de Euler-Lagrange.

Passo 2

A Equação de Euler-Lagrange nos dá uma condição que a função deve satisfazer para que a integral seja estacionária. Ela é dada por:
Aqui, é o integrando da nossa integral, ou seja, .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
  1. Derivada parcial de em relação a :
  1. Derivada parcial de em relação a :
Observamos que não depende diretamente de , apenas de . Portanto:

Passo 4

Substituímos essas derivadas na Equação de Euler-Lagrange:
Simplificando:

Passo 5

Isso significa que a expressão dentro da derivada é constante. Vamos chamar essa constante de :
Podemos multiplicar ambos os lados por para simplificar:

Passo 6

Vamos resolver a equação para :
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 7

Reorganizamos os termos para isolar :
Fatorando :
Assim:
Tomando a raiz quadrada de ambos os lados:

Passo 8

Agora, temos uma equação diferencial para . Vamos integrar para encontrar :
onde é a constante de integração.
Usando a integral conhecida:

Passo 9

Portanto, a solução geral para é:
Considerando as condições iniciais (que não são fornecidas no enunciado), podemos ajustar as constantes e .

Resposta

O caminho que torna a integral estacionária é dado por uma função arco seno hiperbólico ( ), ou seja:
Onde e são constantes que podem ser determinadas com base em condições iniciais específicas.

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(a)
(b)
(a)
(b)
(a)
(b)