(a) Qual é a aceleração centrípeta de um objeto localizado em seu equador? [R.: 3,4 cdot 10^-2 m / s^2.]
(b) Se a aceleração centrípeta fosse maior que a aceleração da gravidade, objetos na superfície da Terra seriam arremessados para o espaço. Qual seria o período de rotação da Terra - ou seja, qual seria a duração de um dia - para que isso ocorresse? [R.: 84,5 min.]

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente quer descobrir qual seria o período de rotação da Terra—ou seja, quanto tempo duraria um dia—para que a aceleração centrípeta na superfície do Equador seja maior que a aceleração da gravidade. Isso significa que, se a Terra girasse tão rápido, a força centrípeta seria tão grande que as coisas na superfície seriam lançadas para o espaço!
Para resolver isso, vamos precisar usar algumas fórmulas de cinemática circular, que é o estudo do movimento em curvas. Especificamente, vamos relacionar a aceleração centrípeta com o período de rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da aceleração centrípeta:
ac = 4pi^2 RT^2
Aqui:
  • é a aceleração centrípeta,
  • é o raio da Terra (aproximadamente metros),
  • é o período de rotação que queremos encontrar,
  • é a constante pi (aproximadamente 3,1416).

Passo 3

Sabemos que a aceleração centrípeta precisa ser igual à aceleração da gravidade ( 4pi^2 RT^2 = g ) para que os objetos comecem a ser arremessados. Então, podemos igualar as duas:
Onde é aproximadamente .

Passo 4

Agora, vamos resolver essa equação para o período T^2 = 4pi^2 Rg . Primeiro, isolamos T = 2pi raizRg :
Em seguida, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar :

Passo 5

Vamos agora substituir os valores conhecidos na fórmula. Usando T = 2 times 3,1416 times raiz6,37 times 10^69,8 e 6,37 times 10^69,8 approx 6,5 times 10^5 :
T = 6,2832 times raiz6,5 times 10^5 approx 6,2832 times 806 approx 5060 , segundos
Vamos calcular dentro da raiz primeiro:
Então:

Passo 6

Finalmente, convertemos os segundos em minutos:
5060 , segundos div 60 approx 84,5 , minutos

Resposta

O período de rotação da Terra precisaria ser de aproximadamente 84,5 minutos para que a aceleração centrípeta na superfície do Equador exceda a aceleração da gravidade, fazendo com que objetos fossem arremessados para o espaço.

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