A aceleração de uma motocicleta é dada por , onde e . A motocicleta está em repouso na origem no instante .
a) Calcule sua velocidade e posição em função do tempo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que a aceleração da motocicleta é dada por , onde e . A motocicleta começa do repouso na origem no instante . Nosso objetivo aqui é calcular a velocidade e a posição da motocicleta em função do tempo. Para chegar lá, vamos precisar integrar a aceleração para encontrar a velocidade e depois integrar a velocidade para encontrar a posição. Primeiro, vamos ajustar as unidades para ficarem todas em metros.

Passo 2

Primeiro, vamos converter o valor de de milímetros para metros para manter as unidades consistentes. Sabemos que . Então:
Agora, nossa expressão de aceleração fica:

Passo 3

Vamos encontrar a velocidade integrando a aceleração em relação ao tempo. A fórmula básica aqui é:
Onde é a constante de integração. Sabemos que a motocicleta começa do repouso, ou seja, . Vamos integrar cada termo da aceleração:
Simplificando:
Aplicando a condição inicial :
Então, a expressão para a velocidade é:

Passo 4

Agora, vamos encontrar a posição integrando a velocidade em relação ao tempo. Usamos a fórmula:
Onde é outra constante de integração. Sabemos que a motocicleta começa na origem, então . Vamos integrar cada termo da velocidade:
Simplificando:
Aplicando a condição inicial :
Portanto, a expressão para a posição é:

Resposta

A velocidade e a posição da motocicleta em função do tempo são, respectivamente:

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กG. 959 Problema 46 .