A aceleração de uma motocicleta é dada por ax(t)=N t-M t^2, onde N=1,5 m / s^3 e M=120 mm / s^4. A motocicleta está em repouso na origem no instante t=0 s.
a) Calcule sua velocidade e posição em função do tempo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que a aceleração da motocicleta é dada por , onde e . A motocicleta começa do repouso na origem no instante . Nosso objetivo aqui é calcular a velocidade e a posição da motocicleta em função do tempo. Para chegar lá, vamos precisar integrar a aceleração para encontrar a velocidade e depois integrar a velocidade para encontrar a posição. Primeiro, vamos ajustar as unidades para ficarem todas em metros.

Passo 2

Primeiro, vamos converter o valor de M = 120 , mm/s^4 = 120 times 0,001 , m/s^4 = 0,12 , m/s^4 de milímetros para metros para manter as unidades consistentes. Sabemos que ax(t) = 1,5 , t - 0,12 , t^2 , m/s^2 . Então:
Agora, nossa expressão de aceleração fica:

Passo 3

Vamos encontrar a velocidade v(t) = integral ax(t) , dt + C integrando a aceleração em relação ao tempo. A fórmula básica aqui é:
v(t) = integral (1,5 , t - 0,12 , t^2) , dt = 1,52 , t^2 - 0,123 , t^3 + C
Onde v(t) = 0,75 , t^2 - 0,04 , t^3 + C é a constante de integração. Sabemos que a motocicleta começa do repouso, ou seja, 0 = 0,75 times 0^2 - 0,04 times 0^3 + C Rightarrow C = 0 . Vamos integrar cada termo da aceleração:
v(t) = 0,75 , t^2 - 0,04 , t^3 , m/s
Simplificando:
Aplicando a condição inicial :
Então, a expressão para a velocidade é:

Passo 4

Agora, vamos encontrar a posição x(t) = integral v(t) , dt + D integrando a velocidade em relação ao tempo. Usamos a fórmula:
x(t) = integral (0,75 , t^2 - 0,04 , t^3) , dt = 0,753 , t^3 - 0,044 , t^4 + D
Onde x(t) = 0,25 , t^3 - 0,01 , t^4 + D é outra constante de integração. Sabemos que a motocicleta começa na origem, então 0 = 0,25 times 0^3 - 0,01 times 0^4 + D Rightarrow D = 0 . Vamos integrar cada termo da velocidade:
x(t) = 0,25 , t^3 - 0,01 , t^4 , m
Simplificando:
Aplicando a condição inicial :
Portanto, a expressão para a posição é:

Resposta

A velocidade e a posição da motocicleta em função do tempo são, respectivamente:
v(t) = 0,75 , t^2 - 0,04 , t^3 , m/s
x(t) = 0,25 , t^3 - 0,01 , t^4 , m

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