Na Fig. 9-59, um bloco inicialmente em repouso explode em dois pedaços,
e
, que deslizam sobre um piso cm um trecho sem atrito e depois entram em regiôes com atrito, onde acabam parando
pedaco E. com uma massa de 20 kg , encontra un coeficiente de atrito cinéico
e chega ao repouso em uma distância
pedaco
encontra um coeficiente de arrito cinético
e desliza até o repouso em uma distância
. Qualera a massa dobloco?
กG. 959 Problema 46 .
กG. 959 Problema 46 .
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o enunciado está pedindo. Aqui, temos um bloco que inicialmente está parado e explode em dois pedaços, chamados de E e D. Ambos deslizam sobre um piso sem atrito por um certo trecho e depois entram em áreas com atrito, onde acabam parando. Sabemos a massa e o coeficiente de atrito do pedaço E, assim como a distância que ele percorre até parar. Para o pedaço D, conhecemos o coeficiente de atrito e a distância até parar, mas não sabemos sua massa. O objetivo é descobrir a massa total do bloco original. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de física sobre trabalho, energia e atrito.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a energia é dissipada quando os pedaços param. Quando um objeto se move e para devido ao atrito, a energia cinética que ele tinha é convertida em trabalho realizado pela força de atrito. A fórmula para o trabalho realizado pela força de atrito é:
Onde:
-
é o trabalho, -
é a força de atrito, -
é a distância percorrida até parar.
A força de atrito cinético é dada por:
Onde:
-
é o coeficiente de atrito cinético, -
é a massa do objeto, -
é a aceleração da gravidade (aproximadamente ).
Passo 3
Sabemos que a energia cinética inicial de cada pedaço é igual ao trabalho realizado pela força de atrito para pará-lo. A energia cinética (
) é dada por:
Onde:
-
é a massa, -
é a velocidade.
Igualando a energia cinética ao trabalho de atrito, temos:
Perceba que a massa
aparece em ambos os lados da equação e pode ser cancelada:
Isso nos mostra que a velocidade ao sair do piso sem atrito depende do coeficiente de atrito e da distância até parar.
Passo 4
Como o bloco estava inicialmente em repouso e depois explode, a quantidade de movimento total antes da explosão era zero. Após a explosão, a quantidade de movimento total ainda deve ser zero (conservação da quantidade de movimento). Então:
Onde:
-
e são as massas dos pedaços E e D, -
e são as velocidades desses pedaços após a explosão.
Podemos resolver essa equação para uma das velocidades em termos da outra.
Passo 5
Utilizando a relação que encontramos anteriormente:
Podemos expressar
e
em termos dos coeficientes de atrito e das distâncias:
Substituindo essas expressões na equação da conservação da quantidade de movimento:
Podemos simplificar
dos dois lados:
Passo 6
Agora, queremos encontrar a massa total do bloco original, que é a soma das massas dos pedaços E e D:
Mas primeiro, precisamos encontrar
. A partir da equação anterior:
Substituindo os valores conhecidos:
Passo 7
Calculando os valores dentro das raízes:
Agora, substituindo de volta na equação da
:
Passo 8
Finalmente, somamos as massas dos dois pedaços para encontrar a massa total do bloco original:
Resposta
A massa total do bloco original é aproximadamente
.
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e
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.
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.
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