Na Fig. 9-59, um bloco inicialmente em repouso explode em dois pedaços, E e D, que deslizam sobre um piso cm um trecho sem atrito e depois entram em regiôes com atrito, onde acabam parando O pedaco E. com uma massa de 20 kg , encontra un coeficiente de atrito cinéico mu=0,40 e chega ao repouso em uma distância d8=0,15 m O pedaco D encontra um coeficiente de arrito cinético muD=0,50 e desliza até o repouso em uma distância dD=0,25 m. Qualera a massa dobloco?
กG. 959 Problema 46 .
ll E=2,0 Kg & d=0,25 m d E=0,15 m &

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o enunciado está pedindo. Aqui, temos um bloco que inicialmente está parado e explode em dois pedaços, chamados de E e D. Ambos deslizam sobre um piso sem atrito por um certo trecho e depois entram em áreas com atrito, onde acabam parando. Sabemos a massa e o coeficiente de atrito do pedaço E, assim como a distância que ele percorre até parar. Para o pedaço D, conhecemos o coeficiente de atrito e a distância até parar, mas não sabemos sua massa. O objetivo é descobrir a massa total do bloco original. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de física sobre trabalho, energia e atrito.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a energia é dissipada quando os pedaços param. Quando um objeto se move e para devido ao atrito, a energia cinética que ele tinha é convertida em trabalho realizado pela força de atrito. A fórmula para o trabalho realizado pela força de atrito é:
W = Fatrito times d
Onde:
  • Fatrito = mu times m times g é o trabalho,
  • é a força de atrito,
  • é a distância percorrida até parar.
A força de atrito cinético é dada por:
Onde:
  • é o coeficiente de atrito cinético,
  • é a massa do objeto,
  • é a aceleração da gravidade (aproximadamente ).

Passo 3

Sabemos que a energia cinética inicial de cada pedaço é igual ao trabalho realizado pela força de atrito para pará-lo. A energia cinética ( Ek = 12 m v^2 ) é dada por:
12 m v^2 = mu m g d
Onde:
  • 12 v^2 = mu g d é a massa,
  • é a velocidade.
Igualando a energia cinética ao trabalho de atrito, temos:
Perceba que a massa aparece em ambos os lados da equação e pode ser cancelada:
Isso nos mostra que a velocidade ao sair do piso sem atrito depende do coeficiente de atrito e da distância até parar.

Passo 4

Como o bloco estava inicialmente em repouso e depois explode, a quantidade de movimento total antes da explosão era zero. Após a explosão, a quantidade de movimento total ainda deve ser zero (conservação da quantidade de movimento). Então:
mE vE = mD vD
Onde:
  • e são as massas dos pedaços E e D,
  • e são as velocidades desses pedaços após a explosão.
Podemos resolver essa equação para uma das velocidades em termos da outra.

Passo 5

Utilizando a relação que encontramos anteriormente:
12 vE^2 = muE g dE e 12 vD^2 = muD g dD
Podemos expressar vE = raiz2 muE g dE e vD = raiz2 muD g dD e mE raiz2 muE g dE = mD raiz2 muD g dD em termos dos coeficientes de atrito e das distâncias:
mE raizmuE dE = mD raizmuD dD
Substituindo essas expressões na equação da conservação da quantidade de movimento:
Podemos simplificar dos dois lados:

Passo 6

Agora, queremos encontrar a massa total do bloco original, que é a soma das massas dos pedaços E e D:
mtotal = mE + mD
Mas primeiro, precisamos encontrar mD = mE raizmuE dEraizmuD dD . A partir da equação anterior:
mD = 20 , kg times raiz0,40 times 0,15raiz0,50 times 0,25
Substituindo os valores conhecidos:

Passo 7

Calculando os valores dentro das raízes:
raiz0,40 times 0,15 = raiz0,06 approx 0,245
raiz0,50 times 0,25 = raiz0,125 approx 0,354
Agora, substituindo de volta na equação da mD = 20 , kg times 0,2450,354 approx 20 , kg times 0,691 approx 13,82 , kg :

Passo 8

Finalmente, somamos as massas dos dois pedaços para encontrar a massa total do bloco original:
mtotal = mE + mD = 20 , kg + 13,82 , kg approx 33,82 , kg

Resposta

A massa total do bloco original é aproximadamente .

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