A aceleração de um ônibus é dada por ax(t)=beta t, onde beta=1,2 m / s^3.
b) Se a posição do ônibus para t=1 s é igual a 6 m , qual sua posição para t=2 s ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre a aceleração de um ônibus que varia com o tempo, dada por , onde . Nosso objetivo é encontrar a posição do ônibus no instante , sabendo que a posição no instante é de 6 metros. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente integração, para passar da aceleração para a velocidade e depois para a posição.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é aceleração. A aceleração é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo. Se sabemos a aceleração, podemos descobrir como a velocidade muda ao longo do tempo integrando a aceleração.
Nossa aceleração é v(t) = integral ax(t) , dt = integral 1,2 , t , dt . Para encontrar a velocidade , integramos em relação ao tempo:

Passo 3

Vamos fazer a integração:
v(t) = 1,2 integral t , dt = 1,2 ( t^22 ) + C = 0,6 , t^2 + C
Aqui, é a constante de integração que representa a velocidade inicial. No entanto, como não temos a velocidade no início, vamos precisar de mais informações para encontrar mais adiante.

Passo 4

Agora, vamos encontrar a posição s(t) = integral v(t) , dt = integral (0,6 , t^2 + C) , dt = 0,6 integral t^2 , dt + C integral dt . Sabemos que a posição é a integral da velocidade em relação ao tempo:
s(t) = 0,6 ( t^33 ) + C , t + D = 0,2 , t^3 + C , t + D
Aqui, é outra constante de integração que representa a posição inicial.

Passo 5

Agora, vamos usar as informações dadas para encontrar as constantes 6 = 0,2 times (1)^3 + C times 1 + D Rightarrow 6 = 0,2 + C + D e 0 = 0,2 times 0^3 + C times 0 + D Rightarrow D = 0 . Sabemos que em 6 = 0,2 + C Rightarrow C = 6 - 0,2 = 5,8 , . Vamos substituir esses valores na equação da posição:
Além disso, se assumirmos que no instante , a posição é zero ( ), então:
Substituindo na primeira equação:

Passo 6

Agora que temos as constantes, podemos escrever a equação completa da posição:
s(t) = 0,2 , t^3 + 5,8 , t
Queremos encontrar s(2) = 0,2 times (2)^3 + 5,8 times 2 = 0,2 times 8 + 11,6 = 1,6 + 11,6 = 13,2 , m , a posição no instante :

Resposta

A posição do ônibus para é de 13,2 metros.

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