A aceleração de um ônibus é dada por A(t)=1,5 t. (a) Se a velocidade do ônibus para t=1,0 s é igual 5,0 m / s, qual a velocidade para t=2 s ? (b) Se a posição do ônibus em t=1,0 s é igual a 6,0 m qual a sua posição para t=3,0 s ? © Faça os gráficos de A(t), V(t) e X(t) para este movimento.

Passo 1

Vamos resumir o exercício. A aceleração do ônibus é dada por . Precisamos resolver três partes:
(a) Encontrar a velocidade no instante , sabendo que em a velocidade é .
(b) Determinar a posição no instante , sabendo que em a posição é .
© Fazer os gráficos de , e para esse movimento.
Para resolver, vamos usar integrações passo a passo para encontrar as funções de velocidade e posição a partir da aceleração.

Passo 2

Vamos resolver a parte (a). Sabemos que a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
A(t) = dVdt
Para encontrar a velocidade V(t) = integral A(t) , dt = integral 1,5 , t , dt = 1,52 , t^2 + C = 0,75 , t^2 + C , precisamos integrar a aceleração:
5,0 = 0,75 times (1)^2 + C 5,0 = 0,75 + C C = 5,0 - 0,75 C = 4,25
Agora, usamos a condição inicial para encontrar a constante de integração V(t) = 0,75 , t^2 + 4,25 . Sabemos que em V(2) = 0,75 times (2)^2 + 4,25 = 0,75 times 4 + 4,25 = 3 + 4,25 = 7,25 , m/s , :
Então, a função da velocidade fica:
Para encontrar a velocidade em :

Passo 3

Agora, vamos para a parte (b). Sabemos que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo:
V(t) = dXdt
Para encontrar a posição X(t) = integral V(t) , dt = integral (0,75 , t^2 + 4,25) , dt = 0,75 times t^33 + 4,25 , t + D = 0,25 , t^3 + 4,25 , t + D , vamos integrar a velocidade:
6,0 = 0,25 times (1)^3 + 4,25 times 1 + D 6,0 = 0,25 + 4,25 + D 6,0 = 4,5 + D D = 6,0 - 4,5 D = 1,5
Usando a condição inicial para encontrar X(t) = 0,25 , t^3 + 4,25 , t + 1,5 , onde em X(3) = 0,25 times (3)^3 + 4,25 times 3 + 1,5 = 0,25 times 27 + 12,75 + 1,5 = 6,75 + 12,75 + 1,5 = 21,0 , m , :
Então, a função da posição fica:
Para encontrar a posição em :

Passo 4

Finalmente, vamos aos gráficos:
  • Aceleração : A função é uma reta que parte da origem com inclinação 1,5. Isso significa que a aceleração aumenta de forma linear com o tempo.
  • Velocidade : A função é uma parábola que abre para cima, indicando que a velocidade aumenta de forma quadrática com o tempo.
  • Posição : A função é uma curva cúbica, mostrando que a posição aumenta de maneira cúbica conforme o tempo avança.
Os gráficos representariam essas relações, mostrando como cada grandeza evolui ao longo do tempo.

Resposta

(a) A velocidade no instante é .
(b) A posição no instante é .
© Os gráficos de , e mostram que a aceleração aumenta linearmente, a velocidade quadraticamente e a posição de forma cúbica com o tempo.

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