A aceleração de um ônibus é dada por t. (a) Se a velocidade do ônibus para é igual , qual a velocidade para ? (b) Se a posição do ônibus em é igual a qual a sua posição para ? © Faça os gráficos de e para este movimento.

Passo 1

Vamos resumir o exercício. A aceleração do ônibus é dada por . Precisamos resolver três partes:
(a) Encontrar a velocidade no instante , sabendo que em a velocidade é .
(b) Determinar a posição no instante , sabendo que em a posição é .
© Fazer os gráficos de , e para esse movimento.
Para resolver, vamos usar integrações passo a passo para encontrar as funções de velocidade e posição a partir da aceleração.

Passo 2

Vamos resolver a parte (a). Sabemos que a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Para encontrar a velocidade , precisamos integrar a aceleração:
Agora, usamos a condição inicial para encontrar a constante de integração . Sabemos que em , :
Então, a função da velocidade fica:
Para encontrar a velocidade em :

Passo 3

Agora, vamos para a parte (b). Sabemos que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo:
Para encontrar a posição , vamos integrar a velocidade:
Usando a condição inicial para encontrar , onde em , :
Então, a função da posição fica:
Para encontrar a posição em :

Passo 4

Finalmente, vamos aos gráficos:
  • Aceleração : A função é uma reta que parte da origem com inclinação 1,5. Isso significa que a aceleração aumenta de forma linear com o tempo.
  • Velocidade : A função é uma parábola que abre para cima, indicando que a velocidade aumenta de forma quadrática com o tempo.
  • Posição : A função é uma curva cúbica, mostrando que a posição aumenta de maneira cúbica conforme o tempo avança.
Os gráficos representariam essas relações, mostrando como cada grandeza evolui ao longo do tempo.

Resposta

(a) A velocidade no instante é .
(b) A posição no instante é .
© Os gráficos de , e mostram que a aceleração aumenta linearmente, a velocidade quadraticamente e a posição de forma cúbica com o tempo.

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