Duas partículas de massas m1 e m2 sofrem uma colisão elástica frontal. Considere que a partícula de massa m2 está inicialmente em repouso v2 i=0. e a outra partícula se move inicialmente com velocidade v1 i=v. Utilize os princípios de conservação de momento linear e de energia e calcule as velocidades finais v1 f e v2 f das partículas após a colisão ( 3.0 pts );

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos duas partículas com massas e que colidem de forma elástica na direção frontal. A partícula está parada no início ( ), e a partícula está se movendo com velocidade . Vamos usar os princípios de conservação do momento linear e da energia para encontrar as velocidades finais e após a colisão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é conservação do momento linear. Isso significa que o momento total antes da colisão é igual ao momento total após a colisão. O momento linear ( p = m times v ) de um objeto é dado por:
ptotal inicial = m1 v1i + m2 v2i
Então, para as duas partículas, temos:
ptotal final = m1 v1f + m2 v2f
Como , o momento inicial é apenas .

Passo 3

Agora, vamos considerar a conservação da energia cinética. Em uma colisão elástica, a energia cinética total também é conservada. A energia cinética ( KE = 12 m v^2 ) de um objeto é dada por:
KEtotal inicial = 12 m1 v1i^2 + 12 m2 v2i^2
Portanto, a energia cinética total antes e depois da colisão são:
KEtotal final = 12 m1 v1f^2 + 12 m2 v2f^2
Novamente, como , a energia cinética inicial é apenas .

Passo 4

Vamos montar as duas equações com base nas conservações:
  1. Conservação do Momento Linear:
m1 v = m1 v1f + m2 v2f (1)
  1. Conservação da Energia Cinética:
12 m1 v^2 = 12 m1 v1f^2 + 12 m2 v2f^2 (2)

Passo 5

Vamos simplificar a equação de conservação do momento linear (Equação 1):
m1 v = m1 v1f + m2 v2f
Podemos dividir todos os termos por v = v1f + m2m1 v2f (3) para facilitar:

Passo 6

Agora, vamos manipular a equação de conservação da energia cinética (Equação 2). Primeiro, multiplicamos todos os termos por 2 para eliminar os m1 v^2 = m1 v1f^2 + m2 v2f^2 :
v^2 = v1f^2 + m2m1 v2f^2 (4)
Dividindo todos os termos por :

Passo 7

Agora, temos duas equações (3 e 4) com duas incógnitas ( v1f = v - m2m1 v2f (5) e v^2 = ( v - m2m1 v2f )^2 + m2m1 v2f^2 ). Vamos resolver essas equações simultaneamente.
Primeiro, da Equação (3):
Substituímos da Equação (5) na Equação (4):

Passo 8

Expandindo o quadrado na equação acima:
v^2 = v^2 - 2 v ( m2m1 v2f ) + ( m2m1 v2f )^2 + m2m1 v2f^2
Simplificando:
v^2 = v^2 - 2 m2m1 v v2f + m2^2m1^2 v2f^2 + m2m1 v2f^2
Cancelando 0 = - 2 m2m1 v v2f + m2^2m1^2 v2f^2 + m2m1 v2f^2 dos dois lados:

Passo 9

Fatorando 0 = v2f ( - 2 m2m1 v + m2^2m1^2 v2f + m2m1 v2f ) :
- 2 m2m1 v + ( m2^2m1^2 + m2m1 ) v2f = 0
Isso nos dá duas soluções possíveis:
  1. (o que não é o caso, pois houve colisão)
  2. Resolver a expressão dentro dos parênteses para :

Passo 10

Vamos isolar ( m2^2m1^2 + m2m1 ) v2f = 2 m2m1 v :
m2m1 ( m2m1 + 1 ) v2f = 2 m2m1 v
Fatorando ( m2m1 + 1 ) v2f = 2 v do lado esquerdo:
Dividindo ambos os lados por :

Passo 11

Resolvendo para v2f = 2 v1 + m2m1 = 2 m1 vm1 + m2 :
v1f = v - m2m1 ( 2 m1 vm1 + m2 ) = v - 2 m2 vm1 + m2 = v (m1 - m2)m1 + m2
Agora, substituímos na Equação (5) para encontrar :

Resposta

Após a colisão, as velocidades finais das partículas são:
v1f = v (m1 - m2)m1 + m2
v2f = 2 m1 vm1 + m2

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