Duas partículas de massas e sofrem uma colisão elástica frontal. Considere que a partícula de massa está inicialmente em repouso . e a outra partícula se move inicialmente com velocidade . Utilize os princípios de conservação de momento linear e de energia e calcule as velocidades finais e das partículas após a colisão ( 3.0 pts );
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos duas partículas com massas e que colidem de forma elástica na direção frontal. A partícula está parada no início (), e a partícula está se movendo com velocidade . Vamos usar os princípios de conservação do momento linear e da energia para encontrar as velocidades finais e após a colisão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é conservação do momento linear. Isso significa que o momento total antes da colisão é igual ao momento total após a colisão. O momento linear () de um objeto é dado por:
Então, para as duas partículas, temos:
Como , o momento inicial é apenas .
Passo 3
Agora, vamos considerar a conservação da energia cinética. Em uma colisão elástica, a energia cinética total também é conservada. A energia cinética () de um objeto é dada por:
Portanto, a energia cinética total antes e depois da colisão são:
Novamente, como , a energia cinética inicial é apenas .
Passo 4
Vamos montar as duas equações com base nas conservações:
Conservação do Momento Linear:
Conservação da Energia Cinética:
Passo 5
Vamos simplificar a equação de conservação do momento linear (Equação 1):
Podemos dividir todos os termos por para facilitar:
Passo 6
Agora, vamos manipular a equação de conservação da energia cinética (Equação 2). Primeiro, multiplicamos todos os termos por 2 para eliminar os :
Dividindo todos os termos por :
Passo 7
Agora, temos duas equações (3 e 4) com duas incógnitas ( e ). Vamos resolver essas equações simultaneamente.
Primeiro, da Equação (3):
Substituímos da Equação (5) na Equação (4):
Passo 8
Expandindo o quadrado na equação acima:
Simplificando:
Cancelando dos dois lados:
Passo 9
Fatorando :
Isso nos dá duas soluções possíveis:
(o que não é o caso, pois houve colisão)
Resolver a expressão dentro dos parênteses para :
Passo 10
Vamos isolar :
Fatorando do lado esquerdo:
Dividindo ambos os lados por :
Passo 11
Resolvendo para :
Agora, substituímos na Equação (5) para encontrar :
Resposta
Após a colisão, as velocidades finais das partículas são: