Duas partículas de massas e sofrem uma colisão elástica frontal. Considere que a partícula de massa está inicialmente em repouso . e a outra partícula se move inicialmente com velocidade . Utilize os princípios de conservação de momento linear e de energia e calcule as velocidades finais e das partículas após a colisão ( 3.0 pts );

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos duas partículas com massas e que colidem de forma elástica na direção frontal. A partícula está parada no início ( ), e a partícula está se movendo com velocidade . Vamos usar os princípios de conservação do momento linear e da energia para encontrar as velocidades finais e após a colisão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é conservação do momento linear. Isso significa que o momento total antes da colisão é igual ao momento total após a colisão. O momento linear ( ) de um objeto é dado por:
Então, para as duas partículas, temos:
Como , o momento inicial é apenas .

Passo 3

Agora, vamos considerar a conservação da energia cinética. Em uma colisão elástica, a energia cinética total também é conservada. A energia cinética ( ) de um objeto é dada por:
Portanto, a energia cinética total antes e depois da colisão são:
Novamente, como , a energia cinética inicial é apenas .

Passo 4

Vamos montar as duas equações com base nas conservações:
  1. Conservação do Momento Linear:
  1. Conservação da Energia Cinética:

Passo 5

Vamos simplificar a equação de conservação do momento linear (Equação 1):
Podemos dividir todos os termos por para facilitar:

Passo 6

Agora, vamos manipular a equação de conservação da energia cinética (Equação 2). Primeiro, multiplicamos todos os termos por 2 para eliminar os :
Dividindo todos os termos por :

Passo 7

Agora, temos duas equações (3 e 4) com duas incógnitas ( e ). Vamos resolver essas equações simultaneamente.
Primeiro, da Equação (3):
Substituímos da Equação (5) na Equação (4):

Passo 8

Expandindo o quadrado na equação acima:
Simplificando:
Cancelando dos dois lados:

Passo 9

Fatorando :
Isso nos dá duas soluções possíveis:
  1. (o que não é o caso, pois houve colisão)
  2. Resolver a expressão dentro dos parênteses para :

Passo 10

Vamos isolar :
Fatorando do lado esquerdo:
Dividindo ambos os lados por :

Passo 11

Resolvendo para :
Agora, substituímos na Equação (5) para encontrar :

Resposta

Após a colisão, as velocidades finais das partículas são:

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