A aceleração de uma partícula é dada por ax(t)=-2,0 m / s^2+(3,0 m / s^3) t. a) Calcule a velocidade inicial v0 x de modo que a partícula tenha a mesma coordenada x para t=0 s e t=4 s. b) Qual seria sua velocidade para t=4,0 s ? a(t)=-4,00 t ; x(t)=4 t-0,667 t^3 ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de cinemática, que é a parte da física que estuda o movimento das partículas sem se preocupar com as causas desse movimento. No enunciado, a aceleração da partícula é dada por uma função do tempo:
ax(t) = -2,0 , m/s^2 + (3,0 , m/s^3) t
Vamos precisar usar conceitos de integração para encontrar a velocidade e a posição da partícula a partir dessa aceleração. A gente vai resolver duas partes:
a) Encontrar a velocidade inicial de modo que a posição da partícula seja a mesma em e segundos.
b) Encontrar a velocidade da partícula em segundos.

Passo 2

Primeiro, para resolver essas questões, precisamos lembrar que a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Então, para encontrar a velocidade, vamos integrar a função da aceleração em relação ao tempo.
A aceleração dada é:
ax(t) = -2,0 , m/s^2 + 3,0 , m/s^3 cdot t
Integrando essa expressão em relação ao tempo vx(t) = integral ax(t) , dt = integral ( -2,0 + 3,0 , t ) dt , obtemos a expressão para a velocidade :

Passo 3

Vamos fazer a integração:
vx(t) = -2,0 , t + 3,02 t^2 + C
Aqui, vx(t) = -2,0 , t + 1,5 , t^2 + v0x é a constante de integração, que representa a velocidade inicial .
Então, a expressão para a velocidade fica:

Passo 4

Agora, para encontrar a expressão da posição x(t) = integral vx(t) , dt = integral ( -2,0 , t + 1,5 , t^2 + v0x ) dt , vamos integrar a expressão da velocidade x(t) = -1,0 , t^2 + 0,5 , t^3 + v0x , t + C' em relação ao tempo:
x(t) = -1,0 , t^2 + 0,5 , t^3 + v0x , t
Integrando cada termo:
Aqui, é a constante de integração para a posição. Vamos considerar que em , a posição é . Então, e a expressão da posição fica:

Passo 5

Agora, vamos para a parte a) do exercício. Queremos que a posição da partícula em x(0) = x(4) e x(4) = -1,0 cdot (4)^2 + 0,5 cdot (4)^3 + v0x cdot 4 = 0 segundos seja a mesma. Isso significa que:
-1,0 cdot 16 + 0,5 cdot 64 + 4 , v0x = 0
Sabemos que -16 + 32 + 4 , v0x = 0 , então:
16 + 4 , v0x = 0
Vamos calcular os valores:

Passo 6

Agora, resolvendo para 4 , v0x = -16 :
v0x = -164
v0x = -4 , m/s

Passo 7

Pronto, encontramos a velocidade inicial que faz com que a posição da partícula seja a mesma em e segundos. Agora, vamos para a parte b).

Passo 8

Para a parte b), precisamos encontrar a velocidade da partícula em vx(t) = -2,0 , t + 1,5 , t^2 + v0x segundos. Já temos a expressão da velocidade:
vx(4) = -2,0 cdot 4 + 1,5 cdot (4)^2 - 4
Substituindo vx(4) = -8 + 1,5 cdot 16 - 4 e vx(4) = -8 + 24 - 4 s:
vx(4) = 12 , m/s
Calculando passo a passo:

Resposta

a) A velocidade inicial é -4 m/s.
b) A velocidade da partícula em segundos é 12 m/s.

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