A aceleração de uma partícula é dada por . a) Calcule a velocidade inicial de modo que a partícula tenha a mesma coordenada para e . b) Qual seria sua velocidade para ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de cinemática, que é a parte da física que estuda o movimento das partículas sem se preocupar com as causas desse movimento. No enunciado, a aceleração da partícula é dada por uma função do tempo:
Vamos precisar usar conceitos de integração para encontrar a velocidade e a posição da partícula a partir dessa aceleração. A gente vai resolver duas partes:
a) Encontrar a velocidade inicial de modo que a posição da partícula seja a mesma em e segundos.
b) Encontrar a velocidade da partícula em segundos.

Passo 2

Primeiro, para resolver essas questões, precisamos lembrar que a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Então, para encontrar a velocidade, vamos integrar a função da aceleração em relação ao tempo.
A aceleração dada é:
Integrando essa expressão em relação ao tempo , obtemos a expressão para a velocidade :

Passo 3

Vamos fazer a integração:
Aqui, é a constante de integração, que representa a velocidade inicial .
Então, a expressão para a velocidade fica:

Passo 4

Agora, para encontrar a expressão da posição , vamos integrar a expressão da velocidade em relação ao tempo:
Integrando cada termo:
Aqui, é a constante de integração para a posição. Vamos considerar que em , a posição é . Então, e a expressão da posição fica:

Passo 5

Agora, vamos para a parte a) do exercício. Queremos que a posição da partícula em e segundos seja a mesma. Isso significa que:
Sabemos que , então:
Vamos calcular os valores:

Passo 6

Agora, resolvendo para :

Passo 7

Pronto, encontramos a velocidade inicial que faz com que a posição da partícula seja a mesma em e segundos. Agora, vamos para a parte b).

Passo 8

Para a parte b), precisamos encontrar a velocidade da partícula em segundos. Já temos a expressão da velocidade:
Substituindo e s:
Calculando passo a passo:

Resposta

a) A velocidade inicial é -4 m/s.
b) A velocidade da partícula em segundos é 12 m/s.

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