A aceleração de uma partícula é dada por
. a) Calcule a velocidade inicial
de modo que a partícula tenha a mesma coordenada
para
e
. b) Qual seria sua velocidade para
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de cinemática, que é a parte da física que estuda o movimento das partículas sem se preocupar com as causas desse movimento. No enunciado, a aceleração da partícula é dada por uma função do tempo:
Vamos precisar usar conceitos de integração para encontrar a velocidade e a posição da partícula a partir dessa aceleração. A gente vai resolver duas partes:
a) Encontrar a velocidade inicial
de modo que a posição da partícula seja a mesma em
e
segundos.
b) Encontrar a velocidade da partícula em
segundos.
Passo 2
Primeiro, para resolver essas questões, precisamos lembrar que a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Então, para encontrar a velocidade, vamos integrar a função da aceleração em relação ao tempo.
A aceleração dada é:
Integrando essa expressão em relação ao tempo
, obtemos a expressão para a velocidade
:
Passo 3
Vamos fazer a integração:
Aqui,
é a constante de integração, que representa a velocidade inicial
.
Então, a expressão para a velocidade fica:
Passo 4
Agora, para encontrar a expressão da posição
, vamos integrar a expressão da velocidade
em relação ao tempo:
Integrando cada termo:
Aqui,
é a constante de integração para a posição. Vamos considerar que em
, a posição é
. Então,
e a expressão da posição fica:
Passo 5
Agora, vamos para a parte a) do exercício. Queremos que a posição da partícula em
e
segundos seja a mesma. Isso significa que:
Sabemos que
, então:
Vamos calcular os valores:
Passo 6
Agora, resolvendo para
:
Passo 7
Pronto, encontramos a velocidade inicial
que faz com que a posição da partícula seja a mesma em
e
segundos. Agora, vamos para a parte b).
Passo 8
Para a parte b), precisamos encontrar a velocidade da partícula em
segundos. Já temos a expressão da velocidade:
Substituindo
e
s:
Calculando passo a passo:
Resposta
a) A velocidade inicial
é -4 m/s.
b) A velocidade da partícula em
segundos é 12 m/s.