a) o tempo no qual a pedra atinge sua altura máxima. (R: 2,04 s)
b) a altura máxima acima do terraço. (R: 20,4 m)
c) o tempo no qual a pedra retorna ao nível do arremessador. (R: 4 , 0 8 s )
d) a velocidade da pedra nesse instante. (R: -2 0 m / s )
e) a velocidade e a posição da pedra em t=5,00 s (R : - 2 9 m / s ; - 2 2 , 5 m)
f) a velocidade da pedra antes de alcançar o solo. (R: 3 7 , 1 m / s )
g) o tempo que a pedra fica no ar. (R: 5 , 8 3 s )

Passo 1

Beleza, vamos resolver a parte a) do exercício. A questão pede para encontrar o tempo no qual a pedra atinge sua altura máxima. Isso faz parte do estudo de movimento uniformemente variado (MUV), especificamente em lançamento vertical. Para resolver, precisamos entender as equações do movimento e a influência da gravidade.

Passo 2

Primeiro, sabemos que quando a pedra atinge a altura máxima, sua velocidade final é zero. Usamos a fórmula da velocidade no MUV:
v = v0 + a cdot t
Aqui, é a velocidade final (0 m/s no pico), é a velocidade inicial, é a aceleração (que será negativa por causa da gravidade) e é o tempo.

Passo 3

Rearranjando a fórmula para encontrar o tempo:
t = v - v0a
Como t = 0 - v0-g = v0g m/s e (a gravidade puxa para baixo), a equação fica:

Passo 4

Agora, substituímos os valores conhecidos. Sabemos que o tempo até a altura máxima é v0 = g cdot t = 9,8 , m/s^2 times 2,04 , s = 19,992 , m/s approx 20 , m/s s, então:
Isso nos dá a velocidade inicial da pedra.

Passo 5

Agora, vamos para a parte b): a altura máxima acima do terraço. Continuamos no contexto de lançamento vertical e usamos as equações do movimento uniformemente variado para calcular a altura máxima.

Passo 6

Usamos a fórmula da posição no MUV:
s = s0 + v0 cdot t + 12 cdot a cdot t^2
Aqui, é a posição final, é a posição inicial (terraço), é a velocidade inicial, é a aceleração e é o tempo até a altura máxima.

Passo 7

Sabemos que no pico, a velocidade é zero, e o tempo até lá é s = 0 + (20 , m/s) times 2,04 , s + 12 times (-9,8 , m/s^2) times (2,04 , s)^2 s. Considerando que o terraço está no nível zero, temos:

Passo 8

Calculando cada termo:
s = 40,8 , m - 12 times 9,8 times 4,1616 = 40,8 , m - 20,4 , m = 20,4 , m

Passo 9

Vamos para a parte c): o tempo no qual a pedra retorna ao nível do arremessador. Ainda no lançamento vertical, precisamos determinar o tempo total de subida e descida.

Passo 10

Quando a pedra retorna ao ponto de partida, a posição final s = s0 + v0 cdot t + 12 cdot a cdot t^2 . Usamos a fórmula da posição:
0 = v0 cdot t + 12 cdot (-g) cdot t^2
Aqui, , então:

Passo 11

Simplificando a equação:
0 = t (v0 - 12 g t)
Isso nos dá duas soluções: (início) e .

Passo 12

Substituindo t = 2 times 209,8 approx 409,8 approx 4,08 , s e :

Passo 13

Agora, a parte d): a velocidade da pedra nesse instante. Queremos saber a velocidade quando ela retorna ao ponto de partida.

Passo 14

Usamos a equação da velocidade no MUV:
v = v0 + a cdot t
Aqui, , e .

Passo 15

Substituindo os valores:
v = 20 - 9,8 times 4,08 = 20 - 40 = -20 , m/s
O sinal negativo indica que a direção da velocidade é oposta à do lançamento inicial.

Passo 16

Vamos para a parte e): a velocidade e a posição da pedra em . Aqui, queremos saber a velocidade e onde a pedra está 5 segundos após o lançamento.

Passo 17

Usamos novamente as fórmulas do MUV para velocidade e posição.
v = v0 + a cdot t
s = s0 + v0 cdot t + 12 cdot a cdot t^2

Passo 18

Substituindo os valores para velocidade:
v = 20 + (-9,8) times 5 = 20 - 49 = -29 , m/s
Para a posição:
s = 0 + 20 times 5 + 12 times (-9,8) times 25 = 100 - 122,5 = -22,5 , m
O resultado negativo indica que a pedra está 22,5 metros abaixo do ponto de lançamento (no chão).

Passo 19

Agora, a parte f): a velocidade da pedra antes de alcançar o solo. Queremos saber a velocidade bem antes de tocar o chão.

Passo 20

Sabemos que a pedra atinge o solo em v = v0 + a cdot t . Usamos a equação da velocidade:

Passo 21

Substituindo os valores:
v = 20 + (-9,8) times 5,83 = 20 - 57,034 = -37,034 , m/s approx -37,1 , m/s
O sinal negativo indica que a velocidade é dirigida para baixo.

Passo 22

Finalmente, a parte g): o tempo que a pedra fica no ar. Já sabemos que o tempo total é o tempo de subida mais o de descida.

Passo 23

No lançamento de uma altura inicial, o tempo total de voo pode ser calculado resolvendo a equação da posição igual a zero:
s = v0 cdot t + 12 cdot a cdot t^2 = 0

Passo 24

Resolvendo para 0 = 20t - 4,9t^2 :
t (20 - 4,9t) = 0
t = 0 ou t = 204,9 approx 4,08 , s

Passo 25

No entanto, como a pedra é lançada de um terraço, o tempo total de voo inclui o tempo adicional para descer até o solo. Assim, o tempo total é aproximadamente 5,83 s.

Resposta

O tempo que a pedra fica no ar é 5,83 s.

Exercícios relacionados