a) o tempo no qual a pedra atinge sua altura máxima. (R: 2,04 s)
b) a altura máxima acima do terraço. (R: 20,4 m)
c) o tempo no qual a pedra retorna ao nível do arremessador. (R:
)
d) a velocidade da pedra nesse instante. (R:
)
e) a velocidade e a posição da pedra em
f) a velocidade da pedra antes de alcançar o solo. (R:
)
g) o tempo que a pedra fica no ar. (R:
b) a altura máxima acima do terraço. (R: 20,4 m)
c) o tempo no qual a pedra retorna ao nível do arremessador. (R:
d) a velocidade da pedra nesse instante. (R:
e) a velocidade e a posição da pedra em
f) a velocidade da pedra antes de alcançar o solo. (R:
g) o tempo que a pedra fica no ar. (R:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a parte a) do exercício. A questão pede para encontrar o tempo no qual a pedra atinge sua altura máxima. Isso faz parte do estudo de movimento uniformemente variado (MUV), especificamente em lançamento vertical. Para resolver, precisamos entender as equações do movimento e a influência da gravidade.
Passo 2
Primeiro, sabemos que quando a pedra atinge a altura máxima, sua velocidade final é zero. Usamos a fórmula da velocidade no MUV:
Aqui,
é a velocidade final (0 m/s no pico),
é a velocidade inicial,
é a aceleração (que será negativa por causa da gravidade) e
é o tempo.
Passo 3
Rearranjando a fórmula para encontrar o tempo:
Como
m/s e
(a gravidade puxa para baixo), a equação fica:
Passo 4
Agora, substituímos os valores conhecidos. Sabemos que o tempo até a altura máxima é
s, então:
Isso nos dá a velocidade inicial da pedra.
Passo 5
Agora, vamos para a parte b): a altura máxima acima do terraço. Continuamos no contexto de lançamento vertical e usamos as equações do movimento uniformemente variado para calcular a altura máxima.
Passo 6
Usamos a fórmula da posição no MUV:
Aqui,
é a posição final,
é a posição inicial (terraço),
é a velocidade inicial,
é a aceleração e
é o tempo até a altura máxima.
Passo 7
Sabemos que no pico, a velocidade é zero, e o tempo até lá é
s. Considerando que o terraço está no nível zero, temos:
Passo 8
Calculando cada termo:
Passo 9
Vamos para a parte c): o tempo no qual a pedra retorna ao nível do arremessador. Ainda no lançamento vertical, precisamos determinar o tempo total de subida e descida.
Passo 10
Quando a pedra retorna ao ponto de partida, a posição final
. Usamos a fórmula da posição:
Aqui,
, então:
Passo 11
Simplificando a equação:
Isso nos dá duas soluções:
(início) e
.
Passo 12
Substituindo
e
:
Passo 13
Agora, a parte d): a velocidade da pedra nesse instante. Queremos saber a velocidade quando ela retorna ao ponto de partida.
Passo 14
Usamos a equação da velocidade no MUV:
Aqui,
,
e
.
Passo 15
Substituindo os valores:
O sinal negativo indica que a direção da velocidade é oposta à do lançamento inicial.
Passo 16
Vamos para a parte e): a velocidade e a posição da pedra em
. Aqui, queremos saber a velocidade e onde a pedra está 5 segundos após o lançamento.
Passo 17
Usamos novamente as fórmulas do MUV para velocidade e posição.
Passo 18
Substituindo os valores para velocidade:
Para a posição:
O resultado negativo indica que a pedra está 22,5 metros abaixo do ponto de lançamento (no chão).
Passo 19
Agora, a parte f): a velocidade da pedra antes de alcançar o solo. Queremos saber a velocidade bem antes de tocar o chão.
Passo 20
Sabemos que a pedra atinge o solo em
. Usamos a equação da velocidade:
Passo 21
Substituindo os valores:
O sinal negativo indica que a velocidade é dirigida para baixo.
Passo 22
Finalmente, a parte g): o tempo que a pedra fica no ar. Já sabemos que o tempo total é o tempo de subida mais o de descida.
Passo 23
No lançamento de uma altura inicial, o tempo total de voo pode ser calculado resolvendo a equação da posição igual a zero:
Passo 24
Resolvendo para
:
Passo 25
No entanto, como a pedra é lançada de um terraço, o tempo total de voo inclui o tempo adicional para descer até o solo. Assim, o tempo total é aproximadamente 5,83 s.
Resposta
O tempo que a pedra fica no ar é 5,83 s.
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