Um partícula se move no espaço com vetor posição r=t i+4 widehatj+(4-t^2) k
b) Determine a equação da trajetória da partícula.

Passo 1

Beleza, vamos resolver este exercício juntos! A questão nos dá o vetor posição de uma partícula que se move no espaço, que é r=t i+4 widehatj+(4-t^2) k. O conteúdo aqui envolve cinemática no espaço, especificamente trabalhando com vetores posição e trajetórias. Para descobrir a equação da trajetória da partícula, vamos precisar relacionar as componentes x, y e z sem depender do parâmetro .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as componentes do vetor posição:
Aqui, , e representam as coordenadas da partícula no espaço em função do tempo .

Passo 3

O próximo passo é eliminar o parâmetro t = x para encontrar uma relação direta entre , e . Observando que , podemos expressar em termos de :

Passo 4

Agora que temos z = 4 - t^2 = 4 - x^2 em termos de , substituímos essa expressão na equação de :

Passo 5

A coordenada é constante e igual a 4. Isso significa que a trajetória da partícula está restrita ao plano onde .

Passo 6

Com as relações encontradas, podemos escrever a equação da trajetória combinando y = 4 z = 4 - x^2 e . Portanto, a trajetória está definida pelas seguintes equações:

Resposta

A equação da trajetória da partícula é e .

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