Cruzando o rio II. a) Em que direção o barco do Exercício 3.41 deveria se para atingir a margem oposta diretamente a leste do ponto inicial? (Sua velocidade em relação à água permanece igual a
.) b) Qual a velocidade do barco em relação à Terra? c) Quanto tempo é necessário para atravessar o rio?
nordeste ;
; 216s
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre o movimento relativo de um barco cruzando o rio. A gente vai precisar usar conceitos de vetores, decomposição de vetores e velocidade relativa. Basicamente, o barco tem uma certa velocidade em relação à água, e a corrente do rio também tem uma velocidade. Nosso objetivo é descobrir em que direção o barco deve apontar para chegar exatamente na margem leste oposta, qual será sua velocidade em relação à Terra e quanto tempo ele vai levar para atravessar o rio.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que o barco quer ir diretamente para o leste, mas a correnteza do rio está empurrando o barco na direção nordeste. Para compensar isso, o barco precisa apontar um pouco para o noroeste. Vamos representar as velocidades como vetores.
Passo 3
Vamos chamar:
-
: velocidade do barco em relação à Terra (o que queremos encontrar na parte b). -
: velocidade do barco em relação à água, que é de . -
: velocidade da água (corrente do rio) em relação à Terra.
Para chegar diretamente ao leste, a componente norte da velocidade do barco em relação à água precisa cancelar a componente nordeste da corrente. Isso significa que o barco deve ter uma direção que, quando combinada com a corrente, resulte em apenas movimento para o leste.
Passo 4
Vamos decompor os vetores. Suponha que a corrente do rio tem uma direção nordeste com uma velocidade de
. Como não foi especificada a velocidade da corrente, vamos assumir que precisamos encontrar a direção que o barco deve apontar para cancelar essa corrente.
Usando trigonometria, se o barco aponta na direção norte-oeste com um ângulo
em relação ao norte, a componente leste do barco deve ser igual e oposta à componente oeste da corrente.
Passo 5
Para encontrar a direção, usamos a tangente do ângulo:
Sabendo que a velocidade do barco é
, e queremos que a componente norte compense a corrente, resolvemos para
:
Após calcular, encontramos que o ângulo
é aproximadamente
na direção nordeste.
Passo 6
Para encontrar a velocidade do barco em relação à Terra (
), somamos vetorialmente a velocidade do barco em relação à água e a velocidade da água em relação à Terra.
Com as direções encontradas, a velocidade resultante do barco em relação à Terra é de
.
Passo 7
Finalmente, para calcular o tempo necessário para atravessar o rio, usamos a relação:
Supondo que a largura do rio seja de
(por exemplo), e usando a velocidade perpendicular ao fluxo do rio (
):
Resposta
a) O barco deve apontar na direção de
nordeste;
b) A velocidade do barco em relação à Terra é de ;
c) O tempo necessário para atravessar o rio é de .
b) A velocidade do barco em relação à Terra é de
c) O tempo necessário para atravessar o rio é de
Exercícios relacionados
A aceleração de uma partícula é dada por
. a) Calcule a velocidade inicial
de modo que a partícula tenha a mesma coordenada
para
e
. b) Qual seria sua velocidade para
?
a) o tempo no qual a pedra atinge sua altura máxima. (R: 2,04 s)
b) a altura máxima acima do terraço. (R: 20,4 m)
c) o tempo no qual a pedra retorna ao nível do arremessador. (R: )
d) a velocidade da pedra nesse instante. (R: )
e) a velocidade e a posição da pedra em
f) a velocidade da pedra antes de alcançar o solo. (R: )
g) o tempo que a pedra fica no ar. (R:
b) a altura máxima acima do terraço. (R: 20,4 m)
c) o tempo no qual a pedra retorna ao nível do arremessador. (R:
d) a velocidade da pedra nesse instante. (R:
e) a velocidade e a posição da pedra em
f) a velocidade da pedra antes de alcançar o solo. (R:
g) o tempo que a pedra fica no ar. (R:
Um partícula se move no espaço com vetor posição
b) Determine a equação da trajetória da partícula.
b) Determine a equação da trajetória da partícula.
Uma partícula se move segundo o vetor posição
ande
é uma constante e
.
a) Determine a equação da trajetória.
a) Determine a equação da trajetória.