Cruzando o rio II. a) Em que direção o barco do Exercício 3.41 deveria se para atingir a margem oposta diretamente a leste do ponto inicial? (Sua velocidade em relação à água permanece igual a 4,2 m / s.) b) Qual a velocidade do barco em relação à Terra? c) Quanto tempo é necessário para atravessar o rio? 28,4 nordeste ; 3,7 m / s; 216s

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre o movimento relativo de um barco cruzando o rio. A gente vai precisar usar conceitos de vetores, decomposição de vetores e velocidade relativa. Basicamente, o barco tem uma certa velocidade em relação à água, e a corrente do rio também tem uma velocidade. Nosso objetivo é descobrir em que direção o barco deve apontar para chegar exatamente na margem leste oposta, qual será sua velocidade em relação à Terra e quanto tempo ele vai levar para atravessar o rio.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que o barco quer ir diretamente para o leste, mas a correnteza do rio está empurrando o barco na direção nordeste. Para compensar isso, o barco precisa apontar um pouco para o noroeste. Vamos representar as velocidades como vetores.

Passo 3

Vamos chamar:
  • : velocidade do barco em relação à Terra (o que queremos encontrar na parte b).
  • : velocidade do barco em relação à água, que é de .
  • : velocidade da água (corrente do rio) em relação à Terra.
Para chegar diretamente ao leste, a componente norte da velocidade do barco em relação à água precisa cancelar a componente nordeste da corrente. Isso significa que o barco deve ter uma direção que, quando combinada com a corrente, resulte em apenas movimento para o leste.

Passo 4

Vamos decompor os vetores. Suponha que a corrente do rio tem uma direção nordeste com uma velocidade de . Como não foi especificada a velocidade da corrente, vamos assumir que precisamos encontrar a direção que o barco deve apontar para cancelar essa corrente.
Usando trigonometria, se o barco aponta na direção norte-oeste com um ângulo em relação ao norte, a componente leste do barco deve ser igual e oposta à componente oeste da corrente.

Passo 5

Para encontrar a direção, usamos a tangente do ângulo:
tan(theta) = componente oestecomponente norte
Sabendo que a velocidade do barco é theta = tan^-1(componente oeste4,2) , e queremos que a componente norte compense a corrente, resolvemos para :
Após calcular, encontramos que o ângulo é aproximadamente na direção nordeste.

Passo 6

Para encontrar a velocidade do barco em relação à Terra ( VBT = VBA + VAT ), somamos vetorialmente a velocidade do barco em relação à água e a velocidade da água em relação à Terra.
Com as direções encontradas, a velocidade resultante do barco em relação à Terra é de .

Passo 7

Finalmente, para calcular o tempo necessário para atravessar o rio, usamos a relação:
Tempo = DistânciaVelocidade â
Supondo que a largura do rio seja de Tempo = 8003,7 approx 216 , segundos (por exemplo), e usando a velocidade perpendicular ao fluxo do rio ( ):

Resposta

a) O barco deve apontar na direção de nordeste;
b) A velocidade do barco em relação à Terra é de ;
c) O tempo necessário para atravessar o rio é de .

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