A aceleração de uma partícula é dada por
. Calcule a velocidade inicial
de modo que a partícula tenha a mesma coordenada x para
e
. Qual seria sua velocidade para
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício onde a aceleração da partícula é dada por
. O que a gente precisa fazer é encontrar a velocidade inicial
de forma que a posição da partícula seja a mesma nos instantes de tempo
e
. Depois, a gente também vai descobrir qual é a velocidade da partícula quando
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente integração, para passar da aceleração para a velocidade e depois para a posição.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Então, para encontrar a velocidade
, a gente integra a aceleração em relação ao tempo:
Substituindo a expressão da aceleração:
Vamos fazer essa integração agora.
Passo 3
Integrando termo a termo:
Então, juntando tudo:
Passo 4
Agora, vamos passar para a posição
. Lembrando que velocidade é a derivada da posição, então para encontrar
, a gente integra a velocidade:
Substituindo a expressão da velocidade que encontramos:
Vamos integrar cada termo:
Então, juntando tudo:
Passo 5
A condição que a gente tem é que a posição no tempo
seja igual à posição em
. Ou seja:
Sabendo que
, vamos substituir na equação da posição:
Simplificando:
Passo 6
Agora que a gente encontrou
, vamos usar a expressão da velocidade para encontrar
:
Substituindo
e
:
Resposta
A velocidade inicial
precisa ser de
e a velocidade da partícula aos
será
.