A aceleração de uma partícula é dada por ax(t)=-2,50+3,0 t. Calcule a velocidade inicial v0 de modo que a partícula tenha a mesma coordenada x para t=0 s e t=4 s. Qual seria sua velocidade para t=4,0 s ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício onde a aceleração da partícula é dada por . O que a gente precisa fazer é encontrar a velocidade inicial de forma que a posição da partícula seja a mesma nos instantes de tempo e . Depois, a gente também vai descobrir qual é a velocidade da partícula quando . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente integração, para passar da aceleração para a velocidade e depois para a posição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Então, para encontrar a velocidade v(t) = v0 + integral0^t ax(t'), dt' , a gente integra a aceleração em relação ao tempo:
v(t) = v0 + integral0^t (-2,50 + 3,0, t'), dt'
Substituindo a expressão da aceleração:
Vamos fazer essa integração agora.

Passo 3

Integrando termo a termo:
integral0^t (-2,50), dt' = -2,50, t
integral0^t 3,0, t', dt' = 3,02, t^2 = 1,5, t^2
Então, juntando tudo:
v(t) = v0 - 2,50, t + 1,5, t^2

Passo 4

Agora, vamos passar para a posição x(t) = x0 + integral0^t v(t'), dt' . Lembrando que velocidade é a derivada da posição, então para encontrar x(t) = x0 + integral0^t ( v0 - 2,50, t' + 1,5, t'^2 ) dt' , a gente integra a velocidade:
integral0^t v0, dt' = v0, t
Substituindo a expressão da velocidade que encontramos:
integral0^t (-2,50, t'), dt' = -2,50 cdot t^22 = -1,25, t^2
Vamos integrar cada termo:
integral0^t 1,5, t'^2, dt' = 1,5 cdot t^33 = 0,5, t^3
x(t) = x0 + v0, t - 1,25, t^2 + 0,5, t^3
Então, juntando tudo:

Passo 5

A condição que a gente tem é que a posição no tempo x(0) = x(4) seja igual à posição em x0 = x0 + v0, (4) - 1,25, (4)^2 + 0,5, (4)^3 . Ou seja:
0 = 4, v0 - 1,25 cdot 16 + 0,5 cdot 64
Sabendo que 0 = 4, v0 - 20 + 32 , vamos substituir na equação da posição:
0 = 4, v0 + 12
Simplificando:
4, v0 = -12
v0 = -3, m/s

Passo 6

Agora que a gente encontrou v(t) = v0 - 2,50, t + 1,5, t^2 , vamos usar a expressão da velocidade para encontrar v(4) = -3 - 2,50 cdot 4 + 1,5 cdot 16 :
v(4) = -3 - 10 + 24
Substituindo v(4) = 11, m/s e :

Resposta

A velocidade inicial precisa ser de e a velocidade da partícula aos será .

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