Uma barata grande pode desenvolver uma velocidade igual a 1,50 m / s em intervalos de tempo curtos. Suponha que, ao acender a lâmpada do quarto de um hotel à beira da estrada, você aviste uma barata que se move com velocidade de 1,50 m / s na mesma direção e sentido que você. Se você está a 1,20 m atrás da barata com velocidade de 0,90 m / s, qual deve ser sua aceleração mínima para que você alcance a barata antes que ela se esconda embaixo de um móvel situado a 1,80 m da posição inicial dela?

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está nos pedindo. Temos uma barata que se move a uma velocidade constante de 1,50 m/s e pode se esconder embaixo de um móvel situado a 1,80 m da sua posição inicial. Você está atrás da barata, a 1,20 m, e se movimenta na mesma direção com uma velocidade inicial de 0,90 m/s. Precisamos descobrir qual a aceleração mínima que você deve ter para alcançar a barata antes que ela se esconda.
Para resolver isso, vamos precisar aplicar conceitos de cinemática, especificamente as equações do movimento uniforme e do movimento uniformemente acelerado.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o tempo que a barata leva para se esconder. Como a velocidade da barata é constante, usamos a fórmula do movimento uniforme:
tesconder = distânciavelocidade = 1,80 m1,50 m/s = 1,20 s â
Isso significa que temos 1,20 segundos para alcançar a barata antes que ela se esconda.

Passo 3

Agora, vamos estabelecer as equações de posição tanto para você quanto para a barata ao longo do tempo.
  • Posição da barata:
    A barata se move a uma velocidade constante, então sua posição em qualquer instante de tempo t é dada por:
xbarata(t) = vbarata times t = 1,50 m/s times t
  • Sua posição:
    Você está inicialmente 1,20 m atrás da barata e se move com uma velocidade inicial de 0,90 m/s e uma aceleração a. A posição sua em função do tempo é dada por:
xvocê(t) = x0 + v0 times t + 12 a t^2 ê
xvocê(t) = -1,20 m + 0,90 m/s times t + 12 a t^2 ê
O sinal negativo indica que você está atrás da posição inicial da barata.

Passo 4

Para alcançar a barata antes que ela se esconda, precisamos que suas posições sejam iguais em algum momento t <= 1,20 s. Então, igualamos as duas equações:
-1,20 m + 0,90 m/s times t + 12 a t^2 = 1,50 m/s times t
Vamos rearrumar essa equação para facilitar a resolução:
12 a t^2 + (0,90 m/s - 1,50 m/s) times t - 1,20 m = 0
12 a t^2 - 0,60 m/s times t - 1,20 m = 0

Passo 5

Queremos encontrar a aceleração mínima a que faz com que essa equação seja verdadeira exatamente no tempo em que a barata se esconde, ou seja, t = 1,20 s. Substituindo t por 1,20 na equação:
12 a (1,20)^2 - 0,60 times 1,20 - 1,20 = 0
Calculando cada termo:
12 a times 1,44 = 0,72 a
-0,60 times 1,20 = -0,72
Substituindo de volta:
0,72 a - 0,72 - 1,20 = 0
0,72 a - 1,92 = 0

Passo 6

Agora, resolvemos para a:
0,72 a = 1,92
a = 1,920,72 = 2,666ldots m/s^2
Arredondando, temos:
a approx 2,67 m/s^2

Resposta

A aceleração mínima necessária para alcançar a barata antes que ela se esconda é 2,67 m/s^2.

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