Calcule o limite de velocidade para uma pista que tem um ângulo de inclinação varphi e mostre que o resultado pode ser colocado na forma v=raizRg tg(varphi+alpha), em que tg alpha=mu.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o limite de velocidade em uma pista inclinada com um ângulo varphi. Para isso, vamos usar conceitos de física, especificamente sobre forças em movimento circular e atrito. Precisaremos entender como a inclinação da pista e o coeficiente de atrito mu influenciam na velocidade máxima permitida.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as forças atuando no carro na pista inclinada. Temos a força gravitacional, a força normal da pista e a força de atrito. A inclinação da pista faz com que a força gravitacional tenha componentes paralela e perpendicular à superfície.

Passo 3

A componente perpendicular da força gravitacional é mgcos(varphi), onde m é a massa do carro e g é a aceleração da gravidade. Essa força é equilibrada pela força normal N, então N = mgcos(varphi).

Passo 4

A componente paralela da força gravitacional é mgsin(varphi). Essa força tenta puxar o carro para baixo da pista. Para evitar que o carro deslize, a força de atrito f deve ser igual ou maior que essa componente. A força de atrito é dada por f = mu N, onde mu é o coeficiente de atrito.

Passo 5

Substituindo N na expressão da força de atrito, temos f = mu mgcos(varphi). Para que o carro não deslize, f >= mgsin(varphi), então:
mu mgcos(varphi) >= mgsin(varphi)
Simplificando m e g:
mu cos(varphi) >= sin(varphi)

Passo 6

Agora, vamos relacionar isso com a velocidade do carro na curva. A força centrípeta necessária para manter o carro na curva é Fc = mv^2R, onde R é o raio da curva e v é a velocidade.

Passo 7

A força centrípeta vem da componente da força de atrito e da componente da força gravitacional. Assim, temos:
mv^2R = mgsin(varphi) + mu mgcos(varphi)
Novamente, simplificando m e g:
v^2R = gsin(varphi) + mu gcos(varphi)

Passo 8

Fatorando g:
v^2R = g(sin(varphi) + mu cos(varphi))
Multiplicando ambos os lados por R:
v^2 = Rg(sin(varphi) + mu cos(varphi))

Passo 9

Podemos reescrever sin(varphi) + mu cos(varphi) utilizando a tangente de um ângulo somado. Sabemos que:
tan(varphi + alpha) = tan varphi + tan alpha1 - tan varphi tan alpha
Considerando que tan alpha = mu, e para simplificação quando mu é pequeno, podemos aproximar sin(varphi) + mu cos(varphi) approx tan(varphi + alpha).

Passo 10

Assim, a expressão para v^2 fica:
v^2 = Rg tan(varphi + alpha)
Tomando a raiz quadrada de ambos os lados:
v = raizRg tan(varphi + alpha)

Resposta

Portanto, o limite de velocidade para a pista inclinada é v = raizRg tan(varphi + alpha), onde tan alpha = mu.

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