Calcule o limite de velocidade para uma pista que tem um ângulo de inclinação
e mostre que o resultado pode ser colocado na forma
, em que tg
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o limite de velocidade em uma pista inclinada com um ângulo
. Para isso, vamos usar conceitos de física, especificamente sobre forças em movimento circular e atrito. Precisaremos entender como a inclinação da pista e o coeficiente de atrito
influenciam na velocidade máxima permitida.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as forças atuando no carro na pista inclinada. Temos a força gravitacional, a força normal da pista e a força de atrito. A inclinação da pista faz com que a força gravitacional tenha componentes paralela e perpendicular à superfície.
Passo 3
A componente perpendicular da força gravitacional é
, onde
é a massa do carro e
é a aceleração da gravidade. Essa força é equilibrada pela força normal
, então
.
Passo 4
A componente paralela da força gravitacional é
. Essa força tenta puxar o carro para baixo da pista. Para evitar que o carro deslize, a força de atrito
deve ser igual ou maior que essa componente. A força de atrito é dada por
, onde
é o coeficiente de atrito.
Passo 5
Substituindo
na expressão da força de atrito, temos
. Para que o carro não deslize,
, então:
Simplificando
e
:
Passo 6
Agora, vamos relacionar isso com a velocidade do carro na curva. A força centrípeta necessária para manter o carro na curva é
, onde
é o raio da curva e
é a velocidade.
Passo 7
A força centrípeta vem da componente da força de atrito e da componente da força gravitacional. Assim, temos:
Novamente, simplificando
e
:
Passo 8
Fatorando
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 9
Podemos reescrever
utilizando a tangente de um ângulo somado. Sabemos que:
Considerando que
, e para simplificação quando
é pequeno, podemos aproximar
.
Passo 10
Assim, a expressão para
fica:
Tomando a raiz quadrada de ambos os lados:
Resposta
Portanto, o limite de velocidade para a pista inclinada é
, onde
.