A aceleração de uma partícula ao longo de um eixo x é a=5,00 t, em unidades do S.I. Em t=2,00 s, a velocidade da partícula é 17,0 m / s. (a) Qual é a velocidade da partícula em t=4,0 s? (b) Qual a aceleração média da partícula no intervalo de 2,00 a 4,00 s ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a aceleração de uma partícula ao longo de um eixo x, onde a aceleração varia com o tempo segundo a fórmula a=5,00, t. A gente precisa usar conceitos de cinemática, especificamente integração para encontrar a velocidade a partir da aceleração. Vamos resolver as duas partes do exercício:

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade da partícula em t=4,0, s. Sabemos que aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, então para achar a velocidade, a gente integra a aceleração.
A fórmula da aceleração é:
a(t) = dvdt = 5,00, t
Integrando ambos os lados em relação ao tempo:
v(t) = integral a(t) , dt = integral 5,00, t , dt = 5,002, t^2 + C
Onde C é a constante de integração que vamos determinar.

Passo 3

Para encontrar a constante C, usamos a informação que em t=2,00, s a velocidade é 17,0, m/s. Substituindo na equação da velocidade:
17,0 = 5,002,(2,00)^2 + C 17,0 = 5,002, times 4,00 + C 17,0 = 10,0 + C C = 17,0 - 10,0 C = 7,0
Então, a equação da velocidade fica:
v(t) = 5,002, t^2 + 7,0

Passo 4

Agora, vamos calcular a velocidade em t=4,0, s substituindo na equação encontrada:
v(4,0) = 5,002, (4,0)^2 + 7,0 v(4,0) = 5,002, times 16,0 + 7,0 v(4,0) = 40,0 + 7,0 v(4,0) = 47,0, m/s

Passo 5

Agora, para encontrar a aceleração média no intervalo de 2,00, s a 4,00, s, usamos a fórmula da aceleração média:
amédia = Deé
Onde De é a variação da velocidade e De é o intervalo de tempo.
Sabemos que:
v(4,0) = 47,0, m/s v(2,0) = 17,0, m/s De
Então:
amédia = 30,02,0 = 15,0, m/s^2 é

Resposta

(a) A velocidade da partícula em t=4,0, s é 47,0, m/s.
(b) A aceleração média no intervalo de 2,00 a 4,00, s é 15,0, m/s^2.

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