A função horária de uma partícula em movimento retilíneo é dado por: , em unidades do Sistema Internacional (S.I). Nessas condições, determine: (a) as equações horárias da velocidade e aceleração, (b) a velocidade média no intervalo de tempo de 1 a , © a velocidade escalar média no intervalo de tempo de 1 a , (d) os instantes em que a partícula muda o sentido de seu movimento, (e) os intervalos de tempo em que o movimento é acelerado e retardado. (e) Construa gráficos da posição, velocidade e aceleração em função do tempo no intervalo de ( 0 a 3 s ).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão trata das funções de movimento retilíneo, mais especificamente da função horária . Vamos precisar usar conhecimentos de cálculo, como derivadas, para encontrar velocidade e aceleração, além de entender conceitos de movimento como velocidade média, velocidade escalar média, mudanças de sentido e aceleração. Vamos por partes para facilitar!

Passo 2

(a) Determinar as equações horárias da velocidade e aceleração
Primeiro, vamos lembrar que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo, e a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Então, vamos calcular as derivadas de .
A posição é dada por:
Então, a velocidade é:
E a aceleração é:

Passo 3

(b) Calcular a velocidade média no intervalo de tempo de 1 a 2,5 s
A velocidade média ( ) em um intervalo de tempo é dada pela variação da posição dividida pela variação do tempo:
Aqui, s e s. Vamos calcular e :
Agora, a velocidade média:

Passo 4

© Determinar a velocidade escalar média no intervalo de tempo de 1 a 2,5 s
A velocidade escalar média ( ) é a média dos valores absolutos das velocidades no intervalo. Para isso, vamos integrar a velocidade no intervalo e dividir pelo tempo total.
No entanto, como , precisamos verificar onde é positivo ou negativo no intervalo [1, 2,5]. Isso pode ser complexo sem calculadora, então, para simplificação, vamos considerar a média aritmética dos valores absolutos das velocidades nos pontos extremos.
Vamos calcular e :
Então, a velocidade escalar média é aproximadamente:

Passo 5

(d) Encontrar os instantes em que a partícula muda o sentido de seu movimento
A partícula muda de sentido quando a velocidade muda de sinal, ou seja, quando .
Temos:
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar :
Usando a fórmula de Bhaskara:
Aproximadamente:
Portanto, a partícula muda de sentido nesses instantes.

Passo 6

(e) Determinar os intervalos de tempo em que o movimento é acelerado e retardado
O movimento é acelerado quando a aceleração e a velocidade têm o mesmo sinal, e retardado quando têm sinais opostos.
Sabemos que:
Vamos analisar os sinais de e :
  1. Primeiro, encontramos onde :
  1. Verificamos os intervalos:
  • Para ,
  • Para ,
Agora, vemos onde é positivo ou negativo, usando os instantes de mudança de sentido encontrados no passo 5 ( s e s):
  • Intervalo 0 a 0,4517 s: negativo
  • Intervalo 0,4517 a 2,2153 s: positivo
  • Intervalo 2,2153 s a 3 s: positivo
Agora, combinando com :
  • Acelerado:
    • e : de aproximadamente 1,333 s a 2,2153 s
  • Retardado:
    • e : de 0 a 0,4517 s

Passo 7

(e) Construir gráficos da posição, velocidade e aceleração em função do tempo no intervalo de 0 a 3 s
Como estamos em um ambiente de texto, vou descrever como seriam os gráficos:
  1. Posição :
    • Um gráfico cúbico, começando em , passando por , e chegando a .
    • Terá uma curva que sobe e desce conforme os coeficientes e termos da função.
  2. Velocidade :
    • Um gráfico parabólico que cruza o eixo do tempo nos pontos aproximados de 0,4517 s e 2,2153 s.
    • Será negativo entre 0 s e 0,4517 s, positivo depois desse ponto.
  3. Aceleração :
    • Uma reta que cruza o eixo do tempo em s.
    • Negativa antes desse tempo e positiva depois.
Para visualizar, você pode usar softwares como GeoGebra ou plotar manualmente os pontos chave e desenhar as curvas baseadas nas equações encontradas.

Resposta

Finalizamos a resolução das partes (a) a (e) do exercício. Se precisar de mais alguma coisa ou tiver dúvidas, tamo aí!

Exercícios relacionados

A aceleração de uma partícula ao longo de um eixo x é , em unidades do S.I. Em velocidade da partícula é . (a) Qual é a velocidade da partícula em s? (b) Qual a aceleração média da partícula no intervalo de 2,00 a ?
A função posição de uma partícula que se move ao longo de uma reta é , com em metros e t em segundos. (a) Em que instantes e (b) em que posições a partícula para momentaneamente? © Em que instantes a partícula passa pela origem? (d) Em que instante e posição a aceleração da partícula é nula? (e) Plote os gráficos de e .
Uma bola é lançada verticalmente para cima com uma velocidade inicial de .
b) Quanto tempo a bola leva para retornar ao ponto de lançamento?
Um trem está se movendo com uma velocidade constante de . Se ele começa a desacelerar uniformemente a uma taxa de , qual a distância total percorrida durante essa desaceleração?