A função horária
de uma partícula em movimento retilíneo é dado por:
, em unidades do Sistema Internacional (S.I). Nessas condições, determine: (a) as equações horárias da velocidade e aceleração, (b) a velocidade média no intervalo de tempo de 1 a
, © a velocidade escalar média no intervalo de tempo de 1 a
, (d) os instantes em que a partícula muda o sentido de seu movimento, (e) os intervalos de tempo em que o movimento é acelerado e retardado. (e) Construa gráficos da posição, velocidade e aceleração em função do tempo no intervalo de ( 0 a 3 s ).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão trata das funções de movimento retilíneo, mais especificamente da função horária
. Vamos precisar usar conhecimentos de cálculo, como derivadas, para encontrar velocidade e aceleração, além de entender conceitos de movimento como velocidade média, velocidade escalar média, mudanças de sentido e aceleração. Vamos por partes para facilitar!
Passo 2
(a) Determinar as equações horárias da velocidade e aceleração
Primeiro, vamos lembrar que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo, e a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Então, vamos calcular as derivadas de
.
A posição é dada por:
Então, a velocidade
é:
E a aceleração
é:
Passo 3
(b) Calcular a velocidade média no intervalo de tempo de 1 a 2,5 s
A velocidade média (
) em um intervalo de tempo é dada pela variação da posição dividida pela variação do tempo:
Aqui,
s e
s. Vamos calcular
e
:
Agora, a velocidade média:
Passo 4
© Determinar a velocidade escalar média no intervalo de tempo de 1 a 2,5 s
A velocidade escalar média (
) é a média dos valores absolutos das velocidades no intervalo. Para isso, vamos integrar a velocidade no intervalo e dividir pelo tempo total.
No entanto, como
, precisamos verificar onde
é positivo ou negativo no intervalo [1, 2,5]. Isso pode ser complexo sem calculadora, então, para simplificação, vamos considerar a média aritmética dos valores absolutos das velocidades nos pontos extremos.
Vamos calcular
e
:
Então, a velocidade escalar média é aproximadamente:
Passo 5
(d) Encontrar os instantes em que a partícula muda o sentido de seu movimento
A partícula muda de sentido quando a velocidade
muda de sinal, ou seja, quando
.
Temos:
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar
:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Aproximadamente:
Portanto, a partícula muda de sentido nesses instantes.
Passo 6
(e) Determinar os intervalos de tempo em que o movimento é acelerado e retardado
O movimento é acelerado quando a aceleração
e a velocidade
têm o mesmo sinal, e retardado quando têm sinais opostos.
Sabemos que:
Vamos analisar os sinais de
e
:
- Primeiro, encontramos onde
:
- Verificamos os intervalos:
- Para
, - Para
,
Agora, vemos onde
é positivo ou negativo, usando os instantes de mudança de sentido encontrados no passo 5 (
s e
s):
- Intervalo 0 a 0,4517 s:
negativo - Intervalo 0,4517 a 2,2153 s:
positivo - Intervalo 2,2153 s a 3 s:
positivo
Agora, combinando com
:
-
Acelerado:
-
e : de aproximadamente 1,333 s a 2,2153 s
-
-
Retardado:
-
e : de 0 a 0,4517 s
-
Passo 7
(e) Construir gráficos da posição, velocidade e aceleração em função do tempo no intervalo de 0 a 3 s
Como estamos em um ambiente de texto, vou descrever como seriam os gráficos:
-
Posição
: - Um gráfico cúbico, começando em
, passando por , e chegando a . - Terá uma curva que sobe e desce conforme os coeficientes e termos da função.
- Um gráfico cúbico, começando em
-
Velocidade
: - Um gráfico parabólico que cruza o eixo do tempo nos pontos aproximados de 0,4517 s e 2,2153 s.
- Será negativo entre 0 s e 0,4517 s, positivo depois desse ponto.
-
Aceleração
: - Uma reta que cruza o eixo do tempo em
s. - Negativa antes desse tempo e positiva depois.
- Uma reta que cruza o eixo do tempo em
Para visualizar, você pode usar softwares como GeoGebra ou plotar manualmente os pontos chave e desenhar as curvas baseadas nas equações encontradas.
Resposta
Finalizamos a resolução das partes (a) a (e) do exercício. Se precisar de mais alguma coisa ou tiver dúvidas, tamo aí!
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