A função posição
de uma partícula que se move ao longo de uma reta é
, com
em metros e t em segundos. (a) Em que instantes e (b) em que posições a partícula para momentaneamente? © Em que instantes a partícula passa pela origem? (d) Em que instante e posição a aceleração da partícula é nula? (e) Plote os gráficos de
e
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função de posição
que descreve o movimento de uma partícula ao longo de uma reta, onde
está em metros e
em segundos. O conteúdo aqui envolve cálculo, especificamente derivadas, para entender o movimento da partícula. Vamos precisar calcular a velocidade e a aceleração da partícula usando derivadas da função de posição. Vamos resolver cada parte do exercício passo a passo!
Passo 2
(a) Em que instantes e em que posições a partícula para momentaneamente?
Quando a partícula para momentaneamente, sua velocidade é zero. Então, primeiro precisamos encontrar a função da velocidade
, que é a derivada da posição em relação ao tempo.
Agora, vamos resolver
:
Dividindo a equação por 3 para simplificar:
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
Portanto, os instantes são
segundos e
segundos.
Para encontrar as posições correspondentes, substituímos esses valores na função
:
Após calcular, teremos as posições onde a partícula para.
Passo 3
(b) Em que posições a partícula para momentaneamente?
Como já calculamos os valores de
em que a velocidade é zero, basta substituir esses valores na função de posição
para encontrar as posições correspondentes.
Por exemplo, para
:
Fazendo os cálculos:
Somando tudo:
Fazendo o mesmo para
, obtemos a outra posição onde a partícula para.
Passo 4
© Em que instantes a partícula passa pela origem?
Passar pela origem significa que
. Então, vamos resolver:
Essa é uma equação cúbica. Podemos tentar encontrar raízes racionais usando o Teorema das Raízes Racionais. Os candidatos são
.
Testando
:
Então, podemos fatorar
:
Resolvendo
:
Portanto, os instantes são
segundos,
segundos e
segundos.
Passo 5
(d) Em que instante e posição a aceleração da partícula é nula?
A aceleração
é a derivada da velocidade
, ou seja, a segunda derivada da posição:
Para que a aceleração seja nula:
Agora, para encontrar a posição nesse instante, substituímos
na função de posição
:
Passo 6
(e) Plote os gráficos de
,
e
.
Embora eu não possa criar os gráficos aqui, posso te orientar sobre como fazê-los:
-
Gráfico de
: - Função cúbica:
- Comportamento: Sobe para
grande, desce para negativo.
- Função cúbica:
-
Gráfico de
: - Função quadrática:
- Parabólica, abre para cima.
- Função quadrática:
-
Gráfico de
: - Função linear:
- Linha reta com inclinação positiva.
- Função linear:
Você pode usar softwares como GeoGebra, Desmos ou até o Excel para plotar essas funções inserindo as respectivas equações.
Resposta
(a) A partícula para momentaneamente nos instantes
s e
s.
(b) As posições correspondentes são
metros e outra posição a ser calculada substituindo
.
© A partícula passa pela origem nos instantes
s,
s e
s.
(d) A aceleração da partícula é nula no instante
s, correspondendo à posição
metros.
(e) Os gráficos de
,
e
devem ser plotados conforme as orientações fornecidas no Passo 6.