A função posição x(t) de uma partícula que se move ao longo de uma reta é x=t^3-3 t^2-3 t+5, com x em metros e t em segundos. (a) Em que instantes e (b) em que posições a partícula para momentaneamente? © Em que instantes a partícula passa pela origem? (d) Em que instante e posição a aceleração da partícula é nula? (e) Plote os gráficos de x(t), v(t) e a(t).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função de posição que descreve o movimento de uma partícula ao longo de uma reta, onde está em metros e em segundos. O conteúdo aqui envolve cálculo, especificamente derivadas, para entender o movimento da partícula. Vamos precisar calcular a velocidade e a aceleração da partícula usando derivadas da função de posição. Vamos resolver cada parte do exercício passo a passo!

Passo 2

(a) Em que instantes e em que posições a partícula para momentaneamente?
Quando a partícula para momentaneamente, sua velocidade é zero. Então, primeiro precisamos encontrar a função da velocidade v(t) = dxdt = 3t^2 - 6t - 3 , que é a derivada da posição em relação ao tempo.
3t^2 - 6t - 3 = 0
Agora, vamos resolver t^2 - 2t - 1 = 0 :
t = 2 pm raiz(2)^2 - 4 cdot 1 cdot (-1)2 cdot 1 = 2 pm raiz4 + 42 = 2 pm raiz82 = 2 pm 2raiz22 = 1 pm raiz2
Dividindo a equação por 3 para simplificar:
x(1 + raiz2) = (1 + raiz2)^3 - 3(1 + raiz2)^2 - 3(1 + raiz2) + 5
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
x(1 - raiz2) = (1 - raiz2)^3 - 3(1 - raiz2)^2 - 3(1 - raiz2) + 5
Portanto, os instantes são segundos e segundos.
Para encontrar as posições correspondentes, substituímos esses valores na função :
Após calcular, teremos as posições onde a partícula para.

Passo 3

(b) Em que posições a partícula para momentaneamente?
Como já calculamos os valores de x(1 + raiz2) = (1 + raiz2)^3 - 3(1 + raiz2)^2 - 3(1 + raiz2) + 5 em que a velocidade é zero, basta substituir esses valores na função de posição (1 + raiz2)^3 = 1 + 3raiz2 + 3(2) + 2raiz2 = 1 + 5raiz2 + 6 = 7 + 5raiz2 para encontrar as posições correspondentes.
Por exemplo, para -3(1 + raiz2)^2 = -3(1 + 2raiz2 + 2) = -3(3 + 2raiz2) = -9 - 6raiz2 :
-3(1 + raiz2) = -3 - 3raiz2
Fazendo os cálculos:
7 + 5raiz2 - 9 - 6raiz2 - 3 - 3raiz2 + 5 = (7 - 9 - 3 + 5) + (5raiz2 - 6raiz2 - 3raiz2) = 0 - 4raiz2 = -4raiz2 metros
Somando tudo:
Fazendo o mesmo para , obtemos a outra posição onde a partícula para.

Passo 4

© Em que instantes a partícula passa pela origem?
Passar pela origem significa que t^3 - 3t^2 - 3t + 5 = 0 . Então, vamos resolver:
1 - 3 - 3 + 5 = 0 Rightarrow t = 1 é uma raiz
Essa é uma equação cúbica. Podemos tentar encontrar raízes racionais usando o Teorema das Raízes Racionais. Os candidatos são (t - 1)(t^2 - 2t - 5) = 0 .
Testando t = 2 pm raiz4 + 202 = 2 pm raiz242 = 2 pm 2raiz62 = 1 pm raiz6 :
é
Então, podemos fatorar :
Resolvendo :
Portanto, os instantes são segundos, segundos e segundos.

Passo 5

(d) Em que instante e posição a aceleração da partícula é nula?
A aceleração a(t) = dvdt = d^2xdt^2 = 6t - 6 é a derivada da velocidade 6t - 6 = 0 Rightarrow t = 1 segundo , ou seja, a segunda derivada da posição:
x(1) = 1^3 - 3(1)^2 - 3(1) + 5 = 1 - 3 - 3 + 5 = 0 metros
Para que a aceleração seja nula:
Agora, para encontrar a posição nesse instante, substituímos na função de posição :

Passo 6

(e) Plote os gráficos de , e .
Embora eu não possa criar os gráficos aqui, posso te orientar sobre como fazê-los:
  1. Gráfico de :
    • Função cúbica:
    • Comportamento: Sobe para grande, desce para negativo.
  2. Gráfico de :
    • Função quadrática:
    • Parabólica, abre para cima.
  3. Gráfico de :
    • Função linear:
    • Linha reta com inclinação positiva.
Você pode usar softwares como GeoGebra, Desmos ou até o Excel para plotar essas funções inserindo as respectivas equações.

Resposta

(a) A partícula para momentaneamente nos instantes s e s.
(b) As posições correspondentes são metros e outra posição a ser calculada substituindo .
© A partícula passa pela origem nos instantes s, s e s.
(d) A aceleração da partícula é nula no instante s, correspondendo à posição metros.
(e) Os gráficos de , e devem ser plotados conforme as orientações fornecidas no Passo 6.

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