A função posição
de uma partícula que se move ao longo de uma reta é
, com
em metros e t em segundos. (a) Em que instantes e (b) em que posições a partícula para momentaneamente? © Em que instantes a partícula passa pela origem? (d) Em que instante e posição a aceleração da partícula é nula? (e) Plote os gráficos de
e
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função de posição
que descreve o movimento de uma partícula ao longo de uma reta, onde
está em metros e
em segundos. O conteúdo aqui envolve cálculo, especificamente derivadas, para entender o movimento da partícula. Vamos precisar calcular a velocidade e a aceleração da partícula usando derivadas da função de posição. Vamos resolver cada parte do exercício passo a passo!
Passo 2
(a) Em que instantes e em que posições a partícula para momentaneamente?
Quando a partícula para momentaneamente, sua velocidade é zero. Então, primeiro precisamos encontrar a função da velocidade
, que é a derivada da posição em relação ao tempo.
Agora, vamos resolver
:
Dividindo a equação por 3 para simplificar:
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
Portanto, os instantes são
segundos e
segundos.
Para encontrar as posições correspondentes, substituímos esses valores na função
:
Após calcular, teremos as posições onde a partícula para.
Passo 3
(b) Em que posições a partícula para momentaneamente?
Como já calculamos os valores de
em que a velocidade é zero, basta substituir esses valores na função de posição
para encontrar as posições correspondentes.
Por exemplo, para
:
Fazendo os cálculos:
Somando tudo:
Fazendo o mesmo para
, obtemos a outra posição onde a partícula para.
Passo 4
© Em que instantes a partícula passa pela origem?
Passar pela origem significa que
. Então, vamos resolver:
Essa é uma equação cúbica. Podemos tentar encontrar raízes racionais usando o Teorema das Raízes Racionais. Os candidatos são
.
Testando
:
Então, podemos fatorar
:
Resolvendo
:
Portanto, os instantes são
segundos,
segundos e
segundos.
Passo 5
(d) Em que instante e posição a aceleração da partícula é nula?
A aceleração
é a derivada da velocidade
, ou seja, a segunda derivada da posição:
Para que a aceleração seja nula:
Agora, para encontrar a posição nesse instante, substituímos
na função de posição
:
Passo 6
(e) Plote os gráficos de
,
e
.
Embora eu não possa criar os gráficos aqui, posso te orientar sobre como fazê-los:
-
Gráfico de
: - Função cúbica:
- Comportamento: Sobe para
grande, desce para negativo.
- Função cúbica:
-
Gráfico de
: - Função quadrática:
- Parabólica, abre para cima.
- Função quadrática:
-
Gráfico de
: - Função linear:
- Linha reta com inclinação positiva.
- Função linear:
Você pode usar softwares como GeoGebra, Desmos ou até o Excel para plotar essas funções inserindo as respectivas equações.
Resposta
(a) A partícula para momentaneamente nos instantes
s e
s.
(b) As posições correspondentes são
metros e outra posição a ser calculada substituindo
.
© A partícula passa pela origem nos instantes
s,
s e
s.
(d) A aceleração da partícula é nula no instante
s, correspondendo à posição
metros.
(e) Os gráficos de
,
e
devem ser plotados conforme as orientações fornecidas no Passo 6.
Exercícios relacionados
A função horária
de uma partícula em movimento retilíneo é dado por:
, em unidades do Sistema Internacional (S.I). Nessas condições, determine: (a) a função horária da velocidade, (b) a velocidade nos instantes 1,0 s e
, © a velocidade média no intervalo de tempo de
a
, (d) o instante em que a partícula inverte o sentido do movimento, (e) a velocidade escalar média no intervalo de 1,0s a 3,5s. (f) os intervalos de tempo em que o movimento e acelerado e retardado.
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, em unidades do sistema internacional -SI . Calcule, para o intervalo de tempo de 1,00 s a 2,00s (a) a velocidade média e (b) a aceleração média. Calcule, para os instantes 1,00 s e 2,00 s © a velocidade e a aceleração. (d) Em que instantes a partícula inverte o sentido de seu movimento? (e) Em que instantes a aceleração da partícula é nula?
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, em unidades do S.I. Em
velocidade da partícula é
. (a) Qual é a velocidade da partícula em
s? (b) Qual a aceleração média da partícula no intervalo de 2,00 a
?
A função horária
de uma partícula em movimento retilíneo é dado por:
, em unidades do Sistema Internacional (S.I). Nessas condições, determine: (a) as equações horárias da velocidade e aceleração, (b) a velocidade média no intervalo de tempo de 1 a
, © a velocidade escalar média no intervalo de tempo de 1 a
, (d) os instantes em que a partícula muda o sentido de seu movimento, (e) os intervalos de tempo em que o movimento é acelerado e retardado. (e) Construa gráficos da posição, velocidade e aceleração em função do tempo no intervalo de ( 0 a 3 s ).