A função posição de uma partícula que se move ao longo de uma reta é , com em metros e t em segundos. (a) Em que instantes e (b) em que posições a partícula para momentaneamente? © Em que instantes a partícula passa pela origem? (d) Em que instante e posição a aceleração da partícula é nula? (e) Plote os gráficos de e .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função de posição que descreve o movimento de uma partícula ao longo de uma reta, onde está em metros e em segundos. O conteúdo aqui envolve cálculo, especificamente derivadas, para entender o movimento da partícula. Vamos precisar calcular a velocidade e a aceleração da partícula usando derivadas da função de posição. Vamos resolver cada parte do exercício passo a passo!

Passo 2

(a) Em que instantes e em que posições a partícula para momentaneamente?
Quando a partícula para momentaneamente, sua velocidade é zero. Então, primeiro precisamos encontrar a função da velocidade , que é a derivada da posição em relação ao tempo.
Agora, vamos resolver :
Dividindo a equação por 3 para simplificar:
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
Portanto, os instantes são segundos e segundos.
Para encontrar as posições correspondentes, substituímos esses valores na função :
Após calcular, teremos as posições onde a partícula para.

Passo 3

(b) Em que posições a partícula para momentaneamente?
Como já calculamos os valores de em que a velocidade é zero, basta substituir esses valores na função de posição para encontrar as posições correspondentes.
Por exemplo, para :
Fazendo os cálculos:
Somando tudo:
Fazendo o mesmo para , obtemos a outra posição onde a partícula para.

Passo 4

© Em que instantes a partícula passa pela origem?
Passar pela origem significa que . Então, vamos resolver:
Essa é uma equação cúbica. Podemos tentar encontrar raízes racionais usando o Teorema das Raízes Racionais. Os candidatos são .
Testando :
é
Então, podemos fatorar :
Resolvendo :
Portanto, os instantes são segundos, segundos e segundos.

Passo 5

(d) Em que instante e posição a aceleração da partícula é nula?
A aceleração é a derivada da velocidade , ou seja, a segunda derivada da posição:
Para que a aceleração seja nula:
Agora, para encontrar a posição nesse instante, substituímos na função de posição :

Passo 6

(e) Plote os gráficos de , e .
Embora eu não possa criar os gráficos aqui, posso te orientar sobre como fazê-los:
  1. Gráfico de :
    • Função cúbica:
    • Comportamento: Sobe para grande, desce para negativo.
  2. Gráfico de :
    • Função quadrática:
    • Parabólica, abre para cima.
  3. Gráfico de :
    • Função linear:
    • Linha reta com inclinação positiva.
Você pode usar softwares como GeoGebra, Desmos ou até o Excel para plotar essas funções inserindo as respectivas equações.

Resposta

(a) A partícula para momentaneamente nos instantes s e s.
(b) As posições correspondentes são metros e outra posição a ser calculada substituindo .
© A partícula passa pela origem nos instantes s, s e s.
(d) A aceleração da partícula é nula no instante s, correspondendo à posição metros.
(e) Os gráficos de , e devem ser plotados conforme as orientações fornecidas no Passo 6.

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