A função horária x(t) de uma partícula em movimento retilíneo é dado por: x(t)=-4+12 t-3 t^2, em unidades do Sistema Internacional (S.I). Nessas condições, determine: (a) a função horária da velocidade, (b) a velocidade nos instantes 1,0 s e 3,5 s, © a velocidade média no intervalo de tempo de 1,0 s a 3,5 s, (d) o instante em que a partícula inverte o sentido do movimento, (e) a velocidade escalar média no intervalo de 1,0s a 3,5s. (f) os intervalos de tempo em que o movimento e acelerado e retardado.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão trata de movimento retilíneo e envolve a função horária da posição de uma partícula. Precisamos encontrar a função da velocidade, calcular velocidades em instantes específicos, determinar velocidades médias, identificar quando a partícula muda de direção e entender os intervalos de aceleração e desaceleração. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo como derivadas e fórmulas de movimento uniforme variado.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a função horária da velocidade. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, se temos v(t) = dxdt = 12 - 6t , a derivada em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos calcular a velocidade nos instantes de 1,0 segundo e 3,5 segundos. Basta substituir esses valores na função v(1,0) = 12 - 6(1,0) = 12 - 6 = 6 , m/s :
Para v(3,5) = 12 - 6(3,5) = 12 - 21 = -9 , m/s s:
Para s:

Passo 4

Vamos agora encontrar a velocidade média no intervalo de tempo de 1,0 s a 3,5 s. A velocidade média é dada por:
vmédia = Deé
Primeiro, calculamos x(1,0) = -4 + 12(1,0) - 3(1,0)^2 = -4 + 12 - 3 = 5 , m e x(3,5) = -4 + 12(3,5) - 3(3,5)^2 = -4 + 42 - 36,75 = 1,25 , m :
Para vmédia = 1,25 - 52,5 = -3,752,5 = -1,5 , m/s s:
Para s:
Agora, substituindo na fórmula da velocidade média:
é

Passo 5

Para encontrar o instante em que a partícula inverte o sentido do movimento, precisamos determinar quando a velocidade é zero, ou seja, resolver 12 - 6t = 0 implies 6t = 12 implies t = 2 , s :
Então, a partícula muda de direção aos 2 segundos.

Passo 6

Vamos calcular a velocidade escalar média no intervalo de 1,0 s a 3,5 s. A velocidade escalar média considera apenas o deslocamento total dividido pelo tempo, sem levar em conta a direção:
vescalar média = |x(3,5) - x(1,0)|3,5 - 1,0 = |1,25 - 5|2,5 = 3,752,5 = 1,5 , m/s é

Passo 7

Por fim, vamos determinar os intervalos de tempo em que o movimento é acelerado e retardado. A aceleração é a derivada da velocidade:
a(t) = dvdt = -6 , m/s^2
Como a aceleração é constante e negativa, ela indica desaceleração. No entanto, para entender se o movimento está acelerando ou desacelerando, precisamos considerar o sinal da velocidade:
  • Quando (antes de s), como a aceleração é negativa, o movimento está retardado.
  • Quando (após s), a aceleração negativa e a velocidade negativa têm sinais opostos, então o movimento está acelerado.

Resposta

(a) A função horária da velocidade é m/s.
(b) A velocidade aos 1,0 s é 6 m/s e aos 3,5 s é -9 m/s.
© A velocidade média no intervalo de 1,0 s a 3,5 s é -1,5 m/s.
(d) A partícula inverte o sentido do movimento aos 2 segundos.
(e) A velocidade escalar média no intervalo de 1,0 s a 3,5 s é 1,5 m/s.
(f) O movimento é retardado no intervalo de 0 a 2 segundos e acelerado após os 2 segundos.

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