A aceleração de uma partícula ao longo de uma linha reta é definida por , em que é dado em segundos. e . Quando , determine (a) a posição da partícula, (b) a distância total percorrida e © a velocidade.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre o movimento de uma partícula ao longo de uma linha reta, onde a aceleração depende do tempo. A gente vai precisar usar conceitos de cinemática, especificamente integração para encontrar a velocidade e a posição a partir da aceleração. Além disso, vamos calcular a distância total percorrida considerando mudanças de direção.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a aceleração que a partícula tem: . Para encontrar a velocidade , precisamos integrar a aceleração em relação ao tempo.
A fórmula para a velocidade é:
onde é a constante de integração que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 3

Vamos calcular a integral de :
Agora, usamos a condição inicial para encontrar :
Então, a velocidade fica:

Passo 4

Agora vamos encontrar a posição integrando a velocidade:
onde é outra constante de integração que vamos determinar usando a condição inicial da posição.

Passo 5

Calculando a integral da velocidade:
Usamos a condição inicial para encontrar :
Então, a posição fica:

Passo 6

Agora, vamos calcular a posição da partícula em :

Passo 7

Para encontrar a distância total percorrida, precisamos analisar onde a velocidade muda de sinal, ou seja, onde :
Resolvendo a equação quadrática:
Isso significa que a partícula muda de direção nesses instantes. Vamos calcular a posição nos momentos de inversão e somar as distâncias absolutas.
Calculando e usando a expressão de e somando as diferenças absolutas entre os intervalos.

Passo 8

Finalmente, vamos encontrar a velocidade em usando a expressão de :

Resposta

(a) A posição da partícula em é .
(b) A distância total percorrida é a soma das distâncias nos intervalos de movimento, considerando as inversões de direção.
© A velocidade da partícula em é .

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