A aceleração de uma partícula ao longo de uma linha reta é definida por a=(2 t-9) m / s^2, em que t é dado em segundos. Em t=0, s=1 m e v=10 m / s. Quando t=9 s, determine (a) a posição da partícula, (b) a distância total percorrida e © a velocidade.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre o movimento de uma partícula ao longo de uma linha reta, onde a aceleração depende do tempo. A gente vai precisar usar conceitos de cinemática, especificamente integração para encontrar a velocidade e a posição a partir da aceleração. Além disso, vamos calcular a distância total percorrida considerando mudanças de direção.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a aceleração que a partícula tem: v(t) = integral a(t) , dt + C . Para encontrar a velocidade , precisamos integrar a aceleração em relação ao tempo.
A fórmula para a velocidade é:
onde é a constante de integração que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 3

Vamos calcular a integral de v(t) = integral (2t - 9) , dt + C = t^2 - 9t + C :
v(0) = (0)^2 - 9(0) + C = C = 10
Agora, usamos a condição inicial v(t) = t^2 - 9t + 10 para encontrar :
Então, a velocidade fica:

Passo 4

Agora vamos encontrar a posição s(t) = integral v(t) , dt + D integrando a velocidade:
onde é outra constante de integração que vamos determinar usando a condição inicial da posição.

Passo 5

Calculando a integral da velocidade:
s(t) = integral (t^2 - 9t + 10) , dt + D = t^33 - 9t^22 + 10t + D
Usamos a condição inicial s(0) = 0^33 - 9(0)^22 + 10(0) + D = D = 1 para encontrar s(t) = t^33 - 9t^22 + 10t + 1 :
Então, a posição fica:

Passo 6

Agora, vamos calcular a posição da partícula em s(9) = 9^33 - 9 times 9^22 + 10 times 9 + 1 :
s(9) = 7293 - 7292 + 90 + 1
s(9) = 243 - 364.5 + 90 + 1 = -30.5 , m

Passo 7

Para encontrar a distância total percorrida, precisamos analisar onde a velocidade muda de sinal, ou seja, onde t^2 - 9t + 10 = 0 :
t = 9 pm raiz81 - 402 = 9 pm raiz412 approx 1.30 , s e 7.70 , s
Resolvendo a equação quadrática:
Isso significa que a partícula muda de direção nesses instantes. Vamos calcular a posição nos momentos de inversão e somar as distâncias absolutas.
Calculando e usando a expressão de e somando as diferenças absolutas entre os intervalos.

Passo 8

Finalmente, vamos encontrar a velocidade em v(9) = 9^2 - 9 times 9 + 10 = 81 - 81 + 10 = 10 , m/s usando a expressão de :

Resposta

(a) A posição da partícula em é .
(b) A distância total percorrida é a soma das distâncias nos intervalos de movimento, considerando as inversões de direção.
© A velocidade da partícula em é .

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