A aceleração de uma partícula ao longo de uma linha reta é definida por
, em que
é dado em segundos.
e
. Quando
, determine (a) a posição da partícula, (b) a distância total percorrida e © a velocidade.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre o movimento de uma partícula ao longo de uma linha reta, onde a aceleração depende do tempo. A gente vai precisar usar conceitos de cinemática, especificamente integração para encontrar a velocidade e a posição a partir da aceleração. Além disso, vamos calcular a distância total percorrida considerando mudanças de direção.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a aceleração que a partícula tem:
. Para encontrar a velocidade
, precisamos integrar a aceleração em relação ao tempo.
A fórmula para a velocidade é:
onde
é a constante de integração que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 3
Vamos calcular a integral de
:
Agora, usamos a condição inicial
para encontrar
:
Então, a velocidade fica:
Passo 4
Agora vamos encontrar a posição
integrando a velocidade:
onde
é outra constante de integração que vamos determinar usando a condição inicial da posição.
Passo 5
Calculando a integral da velocidade:
Usamos a condição inicial
para encontrar
:
Então, a posição fica:
Passo 6
Agora, vamos calcular a posição da partícula em
:
Passo 7
Para encontrar a distância total percorrida, precisamos analisar onde a velocidade muda de sinal, ou seja, onde
:
Resolvendo a equação quadrática:
Isso significa que a partícula muda de direção nesses instantes. Vamos calcular a posição nos momentos de inversão e somar as distâncias absolutas.
Calculando
e
usando a expressão de
e somando as diferenças absolutas entre os intervalos.
Passo 8
Finalmente, vamos encontrar a velocidade em
usando a expressão de
:
Resposta
(a) A posição da partícula em
é
.
(b) A distância total percorrida é a soma das distâncias nos intervalos de movimento, considerando as inversões de direção.
© A velocidade da partícula em
é
.
Exercícios relacionados
Seja
e
. (a) Encontre
e
, se
. (b) Encontre A (o módulo de A) e o ângulo que ele faz com o eixo
. (Resp.: (a)
; (b)
)
Se a posição de uma partícula é definida por
, em que
é dado em segundos, trace os gráficos
e
para
.
Use a definição de limite para calcular
.
Uma pedra
parte do repouso para dentro de um poço, e em 1 s outra pedra
também parte do repouso. Determine a distância entre as pedras outro segundo depois.