Se a posição de uma partícula é definida por s= [3 sen(pi / 4) t+8] m, em que t é dado em segundos, trace os gráficos s-t, v-t e a-t para 0 <= t <= 10 s.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente traçar os gráficos de posição em função do tempo ( s-t), velocidade em função do tempo ( v-t) e aceleração em função do tempo ( a-t) para uma partícula cuja posição é dada por metros, onde s(t) = [3 sen(pi / 4 cdot t) + 8] está entre 0 e 10 segundos. Vamos precisar saber sobre funções trigonométricas, derivadas para encontrar a velocidade e a aceleração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função de posição: . Essa é uma função senoidal que descreve como a posição da partícula varia com o tempo. O termo representa uma oscilação ao redor de uma posição média de 8 metros.

Passo 3

Agora, para encontrar a velocidade ( v(t)), precisamos derivar a função de posição em relação ao tempo. A derivada de é sen(k t). Então:
k cos(k t)
Isso nos dá a função da velocidade em função do tempo.

Passo 4

Em seguida, para encontrar a aceleração ( a(t)), derivamos a função da velocidade em relação ao tempo. A derivada de cos(k t) é . Então:
Agora temos a função da aceleração em função do tempo.

Passo 5

Vamos resumir as funções que vamos plotar:
s(t) = 3 sen(pi4 t) + 8
Essas funções representam, respectivamente, a posição, a velocidade e a aceleração da partícula ao longo do tempo.

Resposta

Para 0 <= t <= 10 segundos, os gráficos são:
  1. Gráfico s-t: Uma função senoidal com amplitude 3 metros, deslocada verticalmente para cima por 8 metros.
  2. Gráfico v-t: Uma função cosenoidal com amplitude 3pi4 m/s e a mesma frequência que s(t).
  3. Gráfico a-t: Uma função senoidal invertida com amplitude 3pi^216 m/s² e a mesma frequência das anteriores.
Esses gráficos mostram como a posição, a velocidade e a aceleração da partícula variam ao longo dos 10 segundos.

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