Seja A=3 i+4 j e B=5 i-6 j. (a) Encontre A+B, A-B, 2 A+3 B e C, se A+B +C=0. (b) Encontre A (o módulo de A) e o ângulo que ele faz com o eixo x. (Resp.: (a) 8 i-2 j,-2 i+10 j, 21 i-10 j,-8 i+2 j; (b) A=5 )

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que temos envolve operações com vetores no plano, especificamente com vetores A e B. Vamos precisar somar e subtrair vetores, multiplicar vetores por escalares e também calcular o módulo de um vetor e o ângulo que ele forma com o eixo x. Esses são conceitos básicos de álgebra vetorial que ajudam a entender como vetores se comportam no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a soma dos vetores A + B. Para somar dois vetores, somamos as componentes correspondentes de cada vetor.
A = 3 i + 4 j
B = 5 i - 6 j
Então,
A + B = (3 + 5) i + (4 + (-6)) j = 8 i - 2 j

Passo 3

Agora, vamos calcular a diferença entre os vetores A - B. Para subtrair dois vetores, subtraímos as componentes correspondentes.
A - B = (3 - 5) i + (4 - (-6)) j = -2 i + 10 j

Passo 4

Em seguida, vamos calcular 2A + 3B. Aqui, multiplicamos cada vetor por um escalar e depois somamos os resultados.
2A = 2 times (3 i + 4 j) = 6 i + 8 j
3B = 3 times (5 i - 6 j) = 15 i - 18 j
Somando:
2A + 3B = (6 + 15) i + (8 - 18) j = 21 i - 10 j

Passo 5

Agora, precisamos encontrar o vetor C, sabendo que A + B + C = 0. Já encontramos A + B = 8 i - 2 j. Então:
C = -(A + B) = - (8 i - 2 j) = -8 i + 2 j

Passo 6

Para a parte (b), vamos calcular o módulo de A e o ângulo que ele forma com o eixo x. O módulo de um vetor A = a i + b j é dado por:
|A| = raiza^2 + b^2
Aplicando para A = 3 i + 4 j:
|A| = raiz3^2 + 4^2 = raiz9 + 16 = raiz25 = 5
Para encontrar o ângulo theta que A faz com o eixo x, usamos:
theta = arctan(ba)
theta = arctan(43) approx 53,13^circ

Resposta

(a) A+B = 8 i - 2 j,
A-B = -2 i + 10 j,
2A+3B = 21 i - 10 j,
C = -8 i + 2 j;
(b) |A| = 5 e o ângulo com o eixo x é aproximadamente 53,13^circ.

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