A aceleração de uma partícula à medida que se move ao longo de uma linha reta é dada por a=(4 t^3 -1) m / s^2, em que t é dado em segundos. Se s=2 m e v=5 m / s quando t=0, determine a velocidade da partícula e a posição quando t=5 s. Determine também a distância total que a partícula percorre durante esse período.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão nos dá a aceleração de uma partícula que se move em uma linha reta, representada pela fórmula m/s². Quando , a posição é 2 metros e a velocidade é 5 m/s. Precisamos determinar:
  1. A velocidade da partícula quando segundos.
  2. A posição da partícula quando segundos.
  3. A distância total que a partícula percorre nesse período.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente integração, já que aceleração é a derivada da velocidade e velocidade é a derivada da posição.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade da partícula em função do tempo. Sabemos que aceleração é a derivada da velocidade:
a(t) = dvdt
Para encontrar v(t) = integral a(t) , dt = integral (4t^3 - 1) , dt , vamos integrar em relação ao tempo:

Passo 3

Vamos integrar termo a termo:
v(t) = integral 4t^3 , dt - integral 1 , dt
Integrando:
v(t) = 4 cdot t^44 - t + C
Simplificando:
v(t) = t^4 - t + C

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a constante de integração 5 = (0)^4 - 0 + C . Sabemos que quando 5 = C , v(t) = t^4 - t + 5 m/s:
Então, a função da velocidade é:

Passo 5

Agora que temos v(t) = dsdt , vamos encontrar a posição s(t) = integral v(t) , dt = integral (t^4 - t + 5) , dt . Sabemos que velocidade é a derivada da posição:
Então, para encontrar , vamos integrar em relação ao tempo:

Passo 6

Vamos integrar termo a termo:
s(t) = integral t^4 , dt - integral t , dt + integral 5 , dt
Integrando:
s(t) = t^55 - t^22 + 5t + D

Passo 7

Agora, precisamos encontrar a constante de integração 2 = 0^55 - 0^22 + 5 cdot 0 + D . Sabemos que quando 2 = D , s(t) = t^55 - t^22 + 5t + 2 m:
Então, a função da posição é:

Passo 8

Agora, vamos calcular a velocidade e a posição quando v(5) = (5)^4 - 5 + 5 = 625 - 5 + 5 = 625 m/s segundos.
Primeiro, a velocidade:

Passo 9

Agora, a posição:
s(5) = 5^55 - 5^22 + 5 cdot 5 + 2
s(5) = 31255 - 252 + 25 + 2
s(5) = 625 - 12.5 + 25 + 2
s(5) = 625 + 25 + 2 - 12.5
s(5) = 652.5 metros

Passo 10

Para encontrar a distância total percorrida, precisamos analisar o movimento da partícula. Porém, como a aceleração não muda o sinal da velocidade no intervalo considerado (de Distância total = s(5) - s(0) = 652.5 m - 2 m = 650.5 metros a ), a distância total percorrida será igual à variação da posição:
â

Resposta

Quando segundos, a velocidade da partícula é de 625 m/s, a posição é de 652,5 metros, e a distância total percorrida durante esse período é de 650,5 metros.

Exercícios relacionados