A aceleração de uma partícula à medida que se move ao longo de uma linha reta é dada por
-1)
, em que
é dado em segundos. Se
e
quando
, determine a velocidade da partícula e a posição quando
. Determine também a distância total que a partícula percorre durante esse período.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão nos dá a aceleração de uma partícula que se move em uma linha reta, representada pela fórmula
m/s². Quando
, a posição
é 2 metros e a velocidade
é 5 m/s. Precisamos determinar:
- A velocidade da partícula quando
segundos. - A posição da partícula quando
segundos. - A distância total que a partícula percorre nesse período.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente integração, já que aceleração é a derivada da velocidade e velocidade é a derivada da posição.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a velocidade da partícula em função do tempo. Sabemos que aceleração é a derivada da velocidade:
Para encontrar
, vamos integrar
em relação ao tempo:
Passo 3
Vamos integrar termo a termo:
Integrando:
Simplificando:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar a constante de integração
. Sabemos que quando
,
m/s:
Então, a função da velocidade é:
Passo 5
Agora que temos
, vamos encontrar a posição
. Sabemos que velocidade é a derivada da posição:
Então, para encontrar
, vamos integrar
em relação ao tempo:
Passo 6
Vamos integrar termo a termo:
Integrando:
Passo 7
Agora, precisamos encontrar a constante de integração
. Sabemos que quando
,
m:
Então, a função da posição é:
Passo 8
Agora, vamos calcular a velocidade e a posição quando
segundos.
Primeiro, a velocidade:
Passo 9
Agora, a posição:
Passo 10
Para encontrar a distância total percorrida, precisamos analisar o movimento da partícula. Porém, como a aceleração não muda o sinal da velocidade no intervalo considerado (de
a
), a distância total percorrida será igual à variação da posição:
Resposta
Quando
segundos, a velocidade da partícula é de 625 m/s, a posição é de 652,5 metros, e a distância total percorrida durante esse período é de 650,5 metros.
Exercícios relacionados
Uma partícula parte de
e percorre uma linha reta com velocidade
, em que
é dado em segundos. Trace os gráficos
e
para o intervalo de tempo
.
Um trem parte do repouso na estação
e acelera a
por 60 s . Depois disso, ele viaja com uma velocidade constante por 15 minutos. Depois, desacelera a
até que chegue ao repouso na estação
. Determine a distância entre as estações.
Uma partícula parte do repouso e move-se ao longo de uma linha reta com aceleração
, em que
é dado em segundos. Qual é a velocidade da partícula quando
, e qual é sua posição quando
?
Uma partícula move-se ao longo de uma linha reta de modo que sua posição é definida por
. Determine a velocidade média, a velocidade escalar média e a aceleração da partícula quando
.