A aceleração de uma partícula à medida que se move ao longo de uma linha reta é dada por -1) , em que é dado em segundos. Se e quando , determine a velocidade da partícula e a posição quando . Determine também a distância total que a partícula percorre durante esse período.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão nos dá a aceleração de uma partícula que se move em uma linha reta, representada pela fórmula m/s². Quando , a posição é 2 metros e a velocidade é 5 m/s. Precisamos determinar:
  1. A velocidade da partícula quando segundos.
  2. A posição da partícula quando segundos.
  3. A distância total que a partícula percorre nesse período.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente integração, já que aceleração é a derivada da velocidade e velocidade é a derivada da posição.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade da partícula em função do tempo. Sabemos que aceleração é a derivada da velocidade:
Para encontrar , vamos integrar em relação ao tempo:

Passo 3

Vamos integrar termo a termo:
Integrando:
Simplificando:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a constante de integração . Sabemos que quando , m/s:
Então, a função da velocidade é:

Passo 5

Agora que temos , vamos encontrar a posição . Sabemos que velocidade é a derivada da posição:
Então, para encontrar , vamos integrar em relação ao tempo:

Passo 6

Vamos integrar termo a termo:
Integrando:

Passo 7

Agora, precisamos encontrar a constante de integração . Sabemos que quando , m:
Então, a função da posição é:

Passo 8

Agora, vamos calcular a velocidade e a posição quando segundos.
Primeiro, a velocidade:

Passo 9

Agora, a posição:

Passo 10

Para encontrar a distância total percorrida, precisamos analisar o movimento da partícula. Porém, como a aceleração não muda o sinal da velocidade no intervalo considerado (de a ), a distância total percorrida será igual à variação da posição:
â

Resposta

Quando segundos, a velocidade da partícula é de 625 m/s, a posição é de 652,5 metros, e a distância total percorrida durante esse período é de 650,5 metros.

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