Uma partícula parte do repouso e move-se ao longo de uma linha reta com aceleração a=(2 t-6) m / s^2, em que t é dado em segundos. Qual é a velocidade da partícula quando t=6 s, e qual é sua posição quando t=11 s ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que uma partícula parte do repouso e se move numa linha reta com uma aceleração que varia com o tempo, dada por m/s². Nosso objetivo é encontrar duas coisas:
  1. A velocidade da partícula quando segundos.
  2. A posição da partícula quando segundos.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática, especificamente integrais, já que a aceleração varia com o tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade da partícula aos 6 segundos. Sabemos que a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja:
a(t) = dvdt
Para encontrar a velocidade, precisamos integrar a aceleração em relação ao tempo:
v(t) = integral a(t) , dt
Substituindo v(t) = integral (2t - 6) , dt :
v(t) = integral 2t , dt - integral 6 , dt
Integrando termo a termo:
v(t) = t^2 - 6t + C
v(0) = 0^2 - 6(0) + C = 0 Rightarrow C = 0
Como a partícula parte do repouso, a velocidade inicial v(t) = t^2 - 6t . Vamos calcular a constante v(6) = 6^2 - 6 times 6 :
v(6) = 36 - 36
Então, a expressão para a velocidade é:
v(6) = 0 m/s
Agora, substituindo segundos:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a posição da partícula aos 11 segundos. Sabemos que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo:
v(t) = dsdt
Para encontrar a posição, vamos integrar a velocidade em relação ao tempo:
s(t) = integral v(t) , dt
Substituindo s(t) = integral (t^2 - 6t) , dt :
s(t) = integral t^2 , dt - integral 6t , dt
Integrando termo a termo:
s(t) = 13t^3 - 3t^2 + C
s(0) = 13(0)^3 - 3(0)^2 + C = 0 Rightarrow C = 0
Sabemos que a partícula parte do repouso do ponto de partida, então a posição inicial s(t) = 13t^3 - 3t^2 . Calculando a constante s(11) = 13(11)^3 - 3(11)^2 :
s(11) = 13(1331) - 3(121)
Então, a expressão para a posição é:
s(11) = 4436 - 363
Agora, substituindo s(11) approx 806 metros segundos:
s(11) approx 80,67 m
Podemos arredondar para duas casas decimais:

Resposta

A velocidade da partícula quando segundos é 0 m/s, e sua posição quando segundos é aproximadamente 80,67 metros.

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