Uma partícula parte do repouso e move-se ao longo de uma linha reta com aceleração , em que é dado em segundos. Qual é a velocidade da partícula quando , e qual é sua posição quando ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que uma partícula parte do repouso e se move numa linha reta com uma aceleração que varia com o tempo, dada por m/s². Nosso objetivo é encontrar duas coisas:
  1. A velocidade da partícula quando segundos.
  2. A posição da partícula quando segundos.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática, especificamente integrais, já que a aceleração varia com o tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade da partícula aos 6 segundos. Sabemos que a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja:
Para encontrar a velocidade, precisamos integrar a aceleração em relação ao tempo:
Substituindo :
Integrando termo a termo:
Como a partícula parte do repouso, a velocidade inicial . Vamos calcular a constante :
Então, a expressão para a velocidade é:
Agora, substituindo segundos:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a posição da partícula aos 11 segundos. Sabemos que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo:
Para encontrar a posição, vamos integrar a velocidade em relação ao tempo:
Substituindo :
Integrando termo a termo:
Sabemos que a partícula parte do repouso do ponto de partida, então a posição inicial . Calculando a constante :
Então, a expressão para a posição é:
Agora, substituindo segundos:
Podemos arredondar para duas casas decimais:

Resposta

A velocidade da partícula quando segundos é 0 m/s, e sua posição quando segundos é aproximadamente 80,67 metros.

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a)
b)
c)
d)