Uma partícula parte do repouso e move-se ao longo de uma linha reta com aceleração
, em que
é dado em segundos. Qual é a velocidade da partícula quando
, e qual é sua posição quando
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que uma partícula parte do repouso e se move numa linha reta com uma aceleração que varia com o tempo, dada por
m/s². Nosso objetivo é encontrar duas coisas:
- A velocidade da partícula quando
segundos. - A posição da partícula quando
segundos.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática, especificamente integrais, já que a aceleração varia com o tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a velocidade da partícula aos 6 segundos. Sabemos que a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja:
Para encontrar a velocidade, precisamos integrar a aceleração em relação ao tempo:
Substituindo
:
Integrando termo a termo:
Como a partícula parte do repouso, a velocidade inicial
. Vamos calcular a constante
:
Então, a expressão para a velocidade é:
Agora, substituindo
segundos:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a posição da partícula aos 11 segundos. Sabemos que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo:
Para encontrar a posição, vamos integrar a velocidade em relação ao tempo:
Substituindo
:
Integrando termo a termo:
Sabemos que a partícula parte do repouso do ponto de partida, então a posição inicial
. Calculando a constante
:
Então, a expressão para a posição é:
Agora, substituindo
segundos:
Podemos arredondar para duas casas decimais:
Resposta
A velocidade da partícula quando
segundos é 0 m/s, e sua posição quando
segundos é aproximadamente 80,67 metros.