Uma partícula parte de s=0 e percorre uma linha reta com velocidade v=(t^2-4 t+3) m / s, em que t é dado em segundos. Trace os gráficos v-t e a-t para o intervalo de tempo 0 <= t <= 4 s.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre o movimento de uma partícula que parte do ponto inicial e se move em linha reta com uma velocidade dada pela função m/s, onde é o tempo em segundos. Nosso objetivo aqui é traçar os gráficos de velocidade em função do tempo ( ) e de aceleração em função do tempo ( ) para o intervalo de tempo de 0 a 4 segundos. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cinemática, especificamente sobre velocidade e aceleração, e entender como representar essas funções graficamente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função da velocidade: . Essa é uma função quadrática, e para traçar o gráfico dela, é legal encontrar alguns pontos chave. Vamos calcular o valor da velocidade em alguns instantes de tempo dentro do intervalo dado.

Passo 3

Vamos calcular v(0) = 0^2 - 4(0) + 3 = 3 , m/s para v(1) = 1^2 - 4(1) + 3 = 1 - 4 + 3 = 0 , m/s segundos:
  • Para v(2) = 2^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1 , m/s : v(3) = 3^2 - 4(3) + 3 = 9 - 12 + 3 = 0 , m/s
  • Para v(4) = 4^2 - 4(4) + 3 = 16 - 16 + 3 = 3 , m/s :
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 4

Agora que temos esses pontos, podemos traçar o gráfico de . Vamos plotar esses pontos no gráfico:
Como a função é quadrática e o coeficiente de é positivo, o gráfico será uma parábola que abre para cima.

Passo 5

Agora, vamos encontrar a aceleração da partícula. A aceleração ( a(t) = ddt(t^2) - ddt(4t) + ddt(3) = 2t - 4 + 0 = 2t - 4 , m/s^2 ) é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja, .
Derivando :

Passo 6

Agora, vamos calcular a(0) = 2(0) - 4 = -4 , m/s^2 para a(1) = 2(1) - 4 = 2 - 4 = -2 , m/s^2 segundos:
  • Para a(2) = 2(2) - 4 = 4 - 4 = 0 , m/s^2 : a(3) = 2(3) - 4 = 6 - 4 = 2 , m/s^2
  • Para a(4) = 2(4) - 4 = 8 - 4 = 4 , m/s^2 :
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 7

Com esses valores, podemos traçar o gráfico de . Vamos plotar os pontos:
A função é linear, então o gráfico será uma linha reta que sobe com inclinação positiva.

Resposta

Os gráficos de e para o intervalo de tempo de 0 a 4 segundos são:
  1. Gráfico : Uma parábola que abre para cima, passando pelos pontos (0,3), (1,0), (2,-1), (3,0) e (4,3).
  2. Gráfico : Uma linha reta com inclinação positiva, passando pelos pontos (0,-4), (1,-2), (2,0), (3,2) e (4,4).

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