Uma partícula parte de e percorre uma linha reta com velocidade , em que é dado em segundos. Trace os gráficos e para o intervalo de tempo .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre o movimento de uma partícula que parte do ponto inicial e se move em linha reta com uma velocidade dada pela função m/s, onde é o tempo em segundos. Nosso objetivo aqui é traçar os gráficos de velocidade em função do tempo ( ) e de aceleração em função do tempo ( ) para o intervalo de tempo de 0 a 4 segundos. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cinemática, especificamente sobre velocidade e aceleração, e entender como representar essas funções graficamente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função da velocidade: . Essa é uma função quadrática, e para traçar o gráfico dela, é legal encontrar alguns pontos chave. Vamos calcular o valor da velocidade em alguns instantes de tempo dentro do intervalo dado.

Passo 3

Vamos calcular para segundos:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 4

Agora que temos esses pontos, podemos traçar o gráfico de . Vamos plotar esses pontos no gráfico:
Como a função é quadrática e o coeficiente de é positivo, o gráfico será uma parábola que abre para cima.

Passo 5

Agora, vamos encontrar a aceleração da partícula. A aceleração ( ) é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja, .
Derivando :

Passo 6

Agora, vamos calcular para segundos:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 7

Com esses valores, podemos traçar o gráfico de . Vamos plotar os pontos:
A função é linear, então o gráfico será uma linha reta que sobe com inclinação positiva.

Resposta

Os gráficos de e para o intervalo de tempo de 0 a 4 segundos são:
  1. Gráfico : Uma parábola que abre para cima, passando pelos pontos (0,3), (1,0), (2,-1), (3,0) e (4,3).
  2. Gráfico : Uma linha reta com inclinação positiva, passando pelos pontos (0,-4), (1,-2), (2,0), (3,2) e (4,4).

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Uma partícula parte do repouso e move-se ao longo de uma linha reta com aceleração , em que é dado em segundos. Qual é a velocidade da partícula quando , e qual é sua posição quando ?