A aceleração de uma partícula que se move apenas em um plano horizontal x0y é dada por a=3 t imath+4 t jmath, em unidades do sistema internacional (SI). Em t = 0, os vetores posição e velocidade são, respectivamente: r=20 imath+40 jmath e v=5,0 imath+2,0 jmath Em t=4,0 s, determine a posição e sua velocidade.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos uma partícula se movendo num plano horizontal com uma aceleração que depende do tempo: . No instante inicial ( ), a posição é e a velocidade é . A gente precisa descobrir qual vão ser a posição e a velocidade da partícula aos segundos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade da partícula em função do tempo. Sabemos que a velocidade é a integral da aceleração. Matemática falando:
v(t) = v0 + integral a(t) , dt
Como a aceleração tem duas componentes, vamos integrar cada uma separadamente.

Passo 3

Integrando a componente integral 3t , dt = 32 t^2 da aceleração:
integral 4t , dt = 2 t^2
E integrando a componente v(t) = v0 + 32 t^2 imath + 2 t^2 jmath :
Então, a equação da velocidade fica:

Passo 4

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar v(0) = 5,0 imath + 2,0 jmath . No tempo v0 = 5,0 imath + 2,0 jmath :
Como , as integrações são zero, então:

Passo 5

Substituindo v(t) = (5,0 + 32 t^2) imath + (2,0 + 2 t^2) jmath na equação da velocidade:

Passo 6

Agora, vamos descobrir a posição da partícula em função do tempo. A posição é a integral da velocidade:
r(t) = r0 + integral v(t) , dt
Substituindo a equação da velocidade:
r(t) = r0 + integral (5,0 + 32 t^2) imath dt + integral (2,0 + 2 t^2) jmath dt

Passo 7

Integrando cada componente:
Para integral (5,0 + 32 t^2) dt = 5 t + 12 t^3 :
integral (2,0 + 2 t^2) dt = 2 t + 23 t^3
Para r(t) = r0 + (5 t + 12 t^3) imath + (2 t + 23 t^3) jmath :
Então, a equação da posição fica:

Passo 8

Aplicando as condições iniciais de posição no tempo r(0) = 20 imath + 40 jmath :
r0 = 20 imath + 40 jmath
Como , as integrações são zero, então:

Passo 9

Substituindo r(t) = (20 + 5 t + 12 t^3) imath + (40 + 2 t + 23 t^3) jmath na equação da posição:

Passo 10

Agora, vamos calcular a velocidade e a posição no tempo v(4) = (5,0 + 32 (4)^2) imath + (2,0 + 2 (4)^2) jmath = (5 + 24) imath + (2 + 32) jmath = 29,0 imath + 34,0 jmath , m/s segundos.
Primeiro, a velocidade:

Passo 11

Agora, a posição:
r(4) = (20 + 5 times 4 + 12 times 4^3) imath + (40 + 2 times 4 + 23 times 4^3) jmath
Calculando:
r(4) = (20 + 20 + 32) imath + (40 + 8 + 1283) jmath = 72,0 imath + 90,67 jmath , m

Resposta

Em segundos, a velocidade da partícula é e a posição é .

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