A aceleração de uma partícula que se move apenas em um plano horizontal x0y é dada por
, em unidades do sistema internacional (SI). Em t = 0, os vetores posição e velocidade são, respectivamente:
e
Em
, determine a posição e sua velocidade.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos uma partícula se movendo num plano horizontal com uma aceleração que depende do tempo:
. No instante inicial (
), a posição é
e a velocidade é
. A gente precisa descobrir qual vão ser a posição e a velocidade da partícula aos
segundos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a velocidade da partícula em função do tempo. Sabemos que a velocidade é a integral da aceleração. Matemática falando:
Como a aceleração tem duas componentes, vamos integrar cada uma separadamente.
Passo 3
Integrando a componente
da aceleração:
E integrando a componente
:
Então, a equação da velocidade fica:
Passo 4
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar
. No tempo
:
Como
, as integrações são zero, então:
Passo 5
Substituindo
na equação da velocidade:
Passo 6
Agora, vamos descobrir a posição da partícula em função do tempo. A posição é a integral da velocidade:
Substituindo a equação da velocidade:
Passo 7
Integrando cada componente:
Para
:
Para
:
Então, a equação da posição fica:
Passo 8
Aplicando as condições iniciais de posição no tempo
:
Como
, as integrações são zero, então:
Passo 9
Substituindo
na equação da posição:
Passo 10
Agora, vamos calcular a velocidade e a posição no tempo
segundos.
Primeiro, a velocidade:
Passo 11
Agora, a posição:
Calculando:
Resposta
Em
segundos, a velocidade da partícula é
e a posição é
.