A aceleração de uma partícula que se move apenas em um plano horizontal x0y é dada por , em unidades do sistema internacional (SI). Em t = 0, os vetores posição e velocidade são, respectivamente: e Em , determine a posição e sua velocidade.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos uma partícula se movendo num plano horizontal com uma aceleração que depende do tempo: . No instante inicial ( ), a posição é e a velocidade é . A gente precisa descobrir qual vão ser a posição e a velocidade da partícula aos segundos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade da partícula em função do tempo. Sabemos que a velocidade é a integral da aceleração. Matemática falando:
Como a aceleração tem duas componentes, vamos integrar cada uma separadamente.

Passo 3

Integrando a componente da aceleração:
E integrando a componente :
Então, a equação da velocidade fica:

Passo 4

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar . No tempo :
Como , as integrações são zero, então:

Passo 5

Substituindo na equação da velocidade:

Passo 6

Agora, vamos descobrir a posição da partícula em função do tempo. A posição é a integral da velocidade:
Substituindo a equação da velocidade:

Passo 7

Integrando cada componente:
Para :
Para :
Então, a equação da posição fica:

Passo 8

Aplicando as condições iniciais de posição no tempo :
Como , as integrações são zero, então:

Passo 9

Substituindo na equação da posição:

Passo 10

Agora, vamos calcular a velocidade e a posição no tempo segundos.
Primeiro, a velocidade:

Passo 11

Agora, a posição:
Calculando:

Resposta

Em segundos, a velocidade da partícula é e a posição é .

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A aceleração de uma partícula que se move apenas em um plano horizontal x0y é dada por , em unidades do sistema internacional (SI). Em t = 0, os vetores posição e velocidade são, respectivamente: e Em , determine o ângulo entre a direção do movimento e o semi-eixo positivo .
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