No sistema de coordenadas x 0 y, o vetor A possui componentes Ax e Ay, conforme mostra a figura 16. Calcule as componentes Ax ^prime e Ay ^prime do vetor A no sistema de coordenadas x^prime O y^prime em termos das componentes Ax, Ay e do ângulo theta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um vetor A com componentes e no sistema de coordenadas . A missão é encontrar as novas componentes e desse vetor no sistema de coordenadas , que está rotacionado em um ângulo . Para isso, vamos precisar entender como as componentes de um vetor mudam quando a gente gira o sistema de coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando giramos o sistema de coordenadas, as componentes do vetor também mudam de acordo com a rotação. A rotação de um sistema de coordenadas em um ângulo pode ser representada por uma matriz de rotação. Essa matriz ajuda a transformar as componentes do vetor do sistema antigo para o novo sistema.

Passo 3

A matriz de rotação para um ângulo cos theta & sin theta -sin theta & cos theta é dada por:
Ax Ay
Essa matriz vai multiplicar o vetor para nos dar as novas componentes e .

Passo 4

Vamos fazer a multiplicação:

[
cos theta & sin theta -sin theta & cos theta Ax Ay = Ax cos theta + Ay sin theta -Ax sin theta + Ay cos theta
A'x = Ax cos theta + Ay sin theta

A'y = -Ax sin theta + Ay cos theta
]
Isso significa que:

Resposta

As componentes do vetor A no sistema de coordenadas rotacionado A'x = Ax cos theta + Ay sin theta são:
A'y = -Ax sin theta + Ay cos theta

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