A aceleração de uma partícula que se move apenas em um plano horizontal x0y é dada por a=3 t imath+4 t jmath, em unidades do sistema internacional (SI). Em t = 0, os vetores posição e velocidade são, respectivamente: r=20 imath+40 jmath e v=5,0 imath+2,0 jmath Em t=4,0 s, determine o ângulo entre a direção do movimento e o semi-eixo positivo x >0.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma partícula que se move em um plano horizontal com uma aceleração dada por a = 3 t, imath + 4 t, jmath. No instante inicial ( t = 0), conhecemos a posição e a velocidade da partícula:
  • Posição: r = 20, imath + 40, jmath
  • Velocidade: v = 5,0, imath + 2,0, jmath
Queremos determinar o ângulo entre a direção do movimento da partícula e o eixo positivo x no instante t = 4,0, s. Para resolver isso, vamos utilizar as equações do movimento retilíneo com aceleração variável.

Passo 2

Vamos começar encontrando a velocidade da partícula no instante t = 4,0, s. Sabemos que a velocidade é a integral da aceleração em relação ao tempo, somada à velocidade inicial.
A equação para a velocidade em função do tempo é:
v(t) = v0 + integral0^t a(t'), dt'
Onde:
  • v0 é a velocidade inicial.
  • a(t') é a aceleração em função do tempo.

Passo 3

Vamos calcular a integral da aceleração para encontrar a velocidade em t = 4,0, s.
A aceleração é:
a(t) = 3 t, imath + 4 t, jmath
Integrando componente por componente:
vx(t) = vx0 + integral0^t 3 t', dt' = 5,0 + 32 t^2
vy(t) = vy0 + integral0^t 4 t', dt' = 2,0 + 2 t^2
Substituindo t = 4,0, s:
vx(4) = 5,0 + 32 times (4)^2 = 5,0 + 32 times 16 = 5,0 + 24 = 29,0, m/s
vy(4) = 2,0 + 2 times (4)^2 = 2,0 + 2 times 16 = 2,0 + 32 = 34,0, m/s
Então, a velocidade no instante t = 4,0, s é:
v(4) = 29,0, imath + 34,0, jmath, m/s

Passo 4

Agora, queremos encontrar o ângulo theta entre a direção da velocidade e o eixo positivo x. Para isso, usamos a função tangente, que relaciona as componentes da velocidade:
tan(theta) = vyvx
Então:
theta = arctan(vyvx)

Passo 5

Substituindo os valores encontrados para vx e vy:
theta = arctan(34,029,0)
Calculando:
theta approx arctan(1,1724) approx 49,4^circ

Resposta

O ângulo entre a direção do movimento da partícula e o eixo positivo x no instante t = 4,0, s é aproximadamente 49,4^circ.

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