O vetor r(t)=(t^3-5 t^2+6 t) imath+(5 t^2-t^3-3) jmath, representa a posição de uma partícula em função do tempo t em unidades do sistema internacional (S.I). No instante t=2,0 s, determine o módulo da aceleração tangencial.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem um vetor posição que mostra onde uma partícula está em qualquer instante de tempo . A questão está dentro da matéria de cinemática vetorial, que estuda o movimento das partículas. Para encontrar o módulo da aceleração tangencial no instante segundos, vamos precisar calcular as derivadas do vetor posição para achar a velocidade e a aceleração, e depois determinar qual parte da aceleração está na direção do movimento.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade da partícula. A velocidade é a derivada do vetor posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar cada componente de v(t) = dr(t)dt = ddt[(t^3-5t^2+6t)imath + (5t^2-t^3-3)jmath] :
v(t) = (3t^2 - 10t + 6)imath + (10t - 3t^2)jmath
Derivando cada termo:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a aceleração da partícula, que é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
a(t) = dv(t)dt = ddt[(3t^2 - 10t + 6)imath + (10t - 3t^2)jmath]
Derivando cada termo:
a(t) = (6t - 10)imath + (10 - 6t)jmath

Passo 4

Para encontrar o módulo da aceleração tangencial no instante v(2) = (3(2)^2 - 10(2) + 6)imath + (10(2) - 3(2)^2)jmath = (12 - 20 + 6)imath + (20 - 12)jmath = (-2)imath + 8jmath segundos, primeiro precisamos achar a velocidade e a aceleração nesse instante.
Calculando a(2) = (6(2) - 10)imath + (10 - 6(2))jmath = (12 - 10)imath + (10 - 12)jmath = 2imath - 2jmath :
Calculando :

Passo 5

A aceleração tangencial at = v cdot a|v| é a componente da aceleração na direção da velocidade. Para encontrá-la, usamos a fórmula:
v(2) cdot a(2) = (-2)(2) + (8)(-2) = -4 - 16 = -20
Onde |v(2)| = raiz(-2)^2 + (8)^2 = raiz4 + 64 = raiz68 = 2raiz17 é o produto escalar das vetores velocidade e aceleração, e é o módulo da velocidade.
Primeiro, calculamos o produto escalar:
Agora, o módulo da velocidade:

Resposta

Portanto, o módulo da aceleração tangencial no instante at = -202raiz17 = -10raiz17 approx -2,42 m/s^2 segundos é:

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