Na figura 14, um paralelepípedo de dimensões A B= 40,0 cm, A E=20,0 cm e A C=30,0 cm, têm o vértice C posicionado na origem do sistema de coordenadas x y z. Qual o ângulo formado entre os vetores A H e D G ; B G e H B.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um paralelepípedo com lados de 40 cm, 20 cm e 30 cm, e o vértice está na origem do sistema de coordenadas . Precisamos encontrar o ângulo entre os vetores e , e também entre e . Para isso, vamos usar conceitos de geometria espacial e vetores, especialmente a fórmula do ângulo entre dois vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender onde estão posicionados os pontos no sistema de coordenadas. Como está na origem, suas coordenadas são . Sabemos que:
  • está ao longo do eixo ,
  • está ao longo do eixo ,
  • está ao longo do eixo .
Com essas informações, podemos determinar as coordenadas de todos os vértices do paralelepípedo.

Passo 3

Vamos atribuir as coordenadas:
  • está na direção oposta a no eixo , então
  • está ao longo do eixo , então
  • está na base, então
  • está ao longo do eixo , então
  • será
  • será
  • será

Passo 4

Agora, vamos encontrar os vetores , , e .

Passo 5

Para encontrar o ângulo entre dois vetores, usamos a fórmula do produto escalar:
cos(theta) = u cdot v|u| , |v|
Onde é o produto escalar e e são as magnitudes dos vetores.

Passo 6

Primeiro, vamos calcular o ângulo entre AH = (0, 20, -30) e DG = (0, 20, 0) .
AH cdot DG = (0)(0) + (20)(20) + (-30)(0) = 400
|AH| = raiz0^2 + 20^2 + (-30)^2 = raiz0 + 400 + 900 = raiz1300 approx 36,06 , cm
Produto escalar:
|DG| = raiz0^2 + 20^2 + 0^2 = raiz400 = 20 , cm
Magnitude dos vetores:
cos(theta) = 40036,06 times 20 approx 400721,2 approx 0,554
theta = arccos(0,554) approx 56,5^circ
Aplicando na fórmula:
Então,

Passo 7

Agora, vamos calcular o ângulo entre BG = (0, 20, -30) e HB = (40, -20, 30) .
BG cdot HB = (0)(40) + (20)(-20) + (-30)(30) = 0 - 400 - 900 = -1300
|BG| = raiz0^2 + 20^2 + (-30)^2 = raiz0 + 400 + 900 = raiz1300 approx 36,06 , cm
Produto escalar:
|HB| = raiz40^2 + (-20)^2 + 30^2 = raiz1600 + 400 + 900 = raiz2900 approx 53,85 , cm
Magnitude dos vetores:
cos(theta) = -130036,06 times 53,85 approx -13001941,93 approx -0,669
theta = arccos(-0,669) approx 132,1^circ
Aplicando na fórmula:
Então,

Resposta

O ângulo entre os vetores e é aproximadamente , e o ângulo entre e é aproximadamente .

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