Na figura 14, um paralelepípedo de dimensões e , têm o vértice posicionado na origem do sistema de coordenadas . Qual o ângulo formado entre os vetores e e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um paralelepípedo com lados de 40 cm, 20 cm e 30 cm, e o vértice está na origem do sistema de coordenadas . Precisamos encontrar o ângulo entre os vetores e , e também entre e . Para isso, vamos usar conceitos de geometria espacial e vetores, especialmente a fórmula do ângulo entre dois vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos entender onde estão posicionados os pontos no sistema de coordenadas. Como está na origem, suas coordenadas são . Sabemos que:
está ao longo do eixo ,
está ao longo do eixo ,
está ao longo do eixo .
Com essas informações, podemos determinar as coordenadas de todos os vértices do paralelepípedo.
Passo 3
Vamos atribuir as coordenadas:
está na direção oposta a no eixo , então
está ao longo do eixo , então
está na base, então
está ao longo do eixo , então
será
será
será
Passo 4
Agora, vamos encontrar os vetores , , e .
Passo 5
Para encontrar o ângulo entre dois vetores, usamos a fórmula do produto escalar:
Onde é o produto escalar e e são as magnitudes dos vetores.
Passo 6
Primeiro, vamos calcular o ângulo entre e .
Produto escalar:
Magnitude dos vetores:
Aplicando na fórmula:
Então,
Passo 7
Agora, vamos calcular o ângulo entre e .
Produto escalar:
Magnitude dos vetores:
Aplicando na fórmula:
Então,
Resposta
O ângulo entre os vetores e é aproximadamente , e o ângulo entre e é aproximadamente .