Na figura 14, um paralelepípedo de dimensões e , têm o vértice posicionado na origem do sistema de coordenadas . Qual o ângulo formado entre os vetores e e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um paralelepípedo com lados de 40 cm, 20 cm e 30 cm, e o vértice está na origem do sistema de coordenadas . Precisamos encontrar o ângulo entre os vetores e , e também entre e . Para isso, vamos usar conceitos de geometria espacial e vetores, especialmente a fórmula do ângulo entre dois vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender onde estão posicionados os pontos no sistema de coordenadas. Como está na origem, suas coordenadas são . Sabemos que:
  • está ao longo do eixo ,
  • está ao longo do eixo ,
  • está ao longo do eixo .
Com essas informações, podemos determinar as coordenadas de todos os vértices do paralelepípedo.

Passo 3

Vamos atribuir as coordenadas:
  • está na direção oposta a no eixo , então
  • está ao longo do eixo , então
  • está na base, então
  • está ao longo do eixo , então
  • será
  • será
  • será

Passo 4

Agora, vamos encontrar os vetores , , e .

Passo 5

Para encontrar o ângulo entre dois vetores, usamos a fórmula do produto escalar:
Onde é o produto escalar e e são as magnitudes dos vetores.

Passo 6

Primeiro, vamos calcular o ângulo entre e .
Produto escalar:
Magnitude dos vetores:
Aplicando na fórmula:
Então,

Passo 7

Agora, vamos calcular o ângulo entre e .
Produto escalar:
Magnitude dos vetores:
Aplicando na fórmula:
Então,

Resposta

O ângulo entre os vetores e é aproximadamente , e o ângulo entre e é aproximadamente .

Exercícios relacionados

Dado os vetores e , represente os vetores num sistema de coordenadas cartesianas.
Na figura 14, um paralelepípedo de dimensões e , têm o vértice posicionado na origem do sistema de coordenadas . Em termos dos vetores unitários represente os seguintes vetores: e .
No sistema de coordenadas , o vetor possui componentes e , conforme mostra a figura 16. Calcule as componentes e do vetor no sistema de coordenadas em termos das componentes , e do ângulo .
A aceleração de uma partícula que se move apenas em um plano horizontal x0y é dada por , em unidades do sistema internacional (SI). Em t = 0, os vetores posição e velocidade são, respectivamente: e Em , determine a posição e sua velocidade.