O vetor r(t)=(t^3-5 t^2+6 t) imath+(5 t^2-t^3-3) jmath, representa a posição de uma partícula em função do tempo t em unidades do sistema internacional (S.I). No instante t=2,0 s, determine o vetor aceleração.

Passo 1

Beleza! Temos a posição da partícula dada pelo vetor r(t) = (t^3 - 5t^2 + 6t)imath + (5t^2 - t^3 - 3)jmath. Aqui, estamos lidando com cálculo vetorial, especificamente com derivadas para encontrar a velocidade e a aceleração. Para determinar o vetor aceleração no instante t = 2,0,s, vamos precisar derivar a posição em relação ao tempo duas vezes.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade v(t), que é a primeira derivada da posição em relação ao tempo. Para isso, derivamos cada componente de r(t):
  • Componente imath:
    ddt(t^3 - 5t^2 + 6t) = 3t^2 - 10t + 6
  • Componente jmath:
    ddt(5t^2 - t^3 - 3) = 10t - 3t^2
Então, a velocidade é:
v(t) = (3t^2 - 10t + 6)imath + (10t - 3t^2)jmath

Passo 3

Agora, vamos calcular a aceleração a(t), que é a segunda derivada da posição ou a primeira derivada da velocidade. Derivamos novamente cada componente de v(t):
  • Componente imath:
    ddt(3t^2 - 10t + 6) = 6t - 10
  • Componente jmath:
    ddt(10t - 3t^2) = 10 - 6t
Portanto, a aceleração é:
a(t) = (6t - 10)imath + (10 - 6t)jmath

Passo 4

Finalmente, vamos substituir t = 2,0,s na expressão da aceleração para encontrar o vetor aceleração nesse instante:
  • Componente imath:
    6 times 2 - 10 = 12 - 10 = 2
  • Componente jmath:
    10 - 6 times 2 = 10 - 12 = -2

Resposta

No instante t = 2,0,s, o vetor aceleração é:
a(2) = 2,imath - 2,jmath

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