(Valor 1,0) Uma folha de árvore, sobre um plano horizontal
, é acelerada por um vento segundo a equação:
. No instante
, a velocidade da folha é
. Quais são o (a) módulo e (b) o ângulo da velocidade da folha após ter se deslocado
paralelamente ao eixo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um problema de cinemática, que é a parte da física que estuda o movimento dos objetos sem considerar as causas desse movimento. Aqui, a gente vai precisar das equações do movimento com aceleração constante. O que a gente tem é uma folha sendo empurrada pelo vento com uma aceleração dada, e queremos descobrir como a velocidade dela muda após ela se deslocar 12 metros só na direção do eixo
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a aceleração que a folha está sofrendo. A aceleração está dada pela vetorial:
Isso significa que a folha está acelerando 5
na direção
e 7
na direção
.
Passo 3
A velocidade inicial da folha no instante
é:
Isso quer dizer que inicialmente, a folha só está se movendo na direção
, com velocidade de 4
.
Passo 4
Queremos saber qual é a velocidade da folha depois que ela se deslocou 12 metros na direção
. Para isso, primeiro vamos encontrar o tempo que a folha leva para percorrer esses 12 metros somente na direção
.
Usamos a equação do movimento:
Onde:
-
m (deslocamento na direção ) -
m/s (velocidade inicial na direção ) -
m/s² (aceleração na direção )
Substituindo os valores:
Simplificando:
Passo 5
Agora temos uma equação quadrática:
Vamos resolver essa equação para encontrar o tempo
. Usamos a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
e
. Calculando o discriminante:
Então:
Considerando apenas a solução positiva para o tempo:
Passo 6
Agora que temos o tempo
s, vamos calcular a velocidade da folha nas direções
e
nesse instante. Usamos a equação da velocidade com aceleração constante:
Para a direção
:
Para a direção
:
Como a velocidade inicial na direção
era zero, temos:
Passo 7
Agora, vamos calcular o módulo da velocidade resultante da folha após os 12 metros. Usamos o teorema de Pitágoras:
Passo 8
Para encontrar o ângulo da velocidade em relação ao eixo
, usamos a tangente:
Então:
Resposta
(a) O módulo da velocidade da folha após deslocar 12,0 m é aproximadamente 15,81 m/s.
(b) O ângulo da velocidade da folha em relação ao eixo
é de aproximadamente 42,5 graus.