(Valor 1,0) Uma folha de árvore, sobre um plano horizontal x y, é acelerada por um vento segundo a equação: a=(5,00 m / s^2) i+(7,00 m / s^2) j. No instante t=0, a velocidade da folha é
v=(4,00 m / s) i. Quais são o (a) módulo e (b) o ângulo da velocidade da folha após ter se deslocado 12,0 m paralelamente ao eixo x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um problema de cinemática, que é a parte da física que estuda o movimento dos objetos sem considerar as causas desse movimento. Aqui, a gente vai precisar das equações do movimento com aceleração constante. O que a gente tem é uma folha sendo empurrada pelo vento com uma aceleração dada, e queremos descobrir como a velocidade dela muda após ela se deslocar 12 metros só na direção do eixo .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a aceleração que a folha está sofrendo. A aceleração está dada pela vetorial:
a = (5,00, m/s^2) i + (7,00, m/s^2) j
Isso significa que a folha está acelerando 5 na direção e 7 na direção .

Passo 3

A velocidade inicial da folha no instante v0 = (4,00, m/s) i é:
Isso quer dizer que inicialmente, a folha só está se movendo na direção , com velocidade de 4 .

Passo 4

Queremos saber qual é a velocidade da folha depois que ela se deslocou 12 metros na direção sx = v0x t + 12 ax t^2 . Para isso, primeiro vamos encontrar o tempo que a folha leva para percorrer esses 12 metros somente na direção 12,0 = 4,00 t + 12 (5,00) t^2 .
Usamos a equação do movimento:
12,0 = 4,00 t + 2,50 t^2
Onde:
  • m (deslocamento na direção )
  • m/s (velocidade inicial na direção )
  • m/s² (aceleração na direção )
Substituindo os valores:
Simplificando:

Passo 5

Agora temos uma equação quadrática:
2,50 t^2 + 4,00 t - 12,0 = 0
Vamos resolver essa equação para encontrar o tempo t = -b pm raizb^2 - 4ac2a . Usamos a fórmula de Bhaskara:
De
Onde t = -4,00 pm raiz136,02 times 2,50 = -4,00 pm 11,665,00 , t = 7,665,00 = 1,53, s e . Calculando o discriminante:
Então:
Considerando apenas a solução positiva para o tempo:

Passo 6

Agora que temos o tempo v = v0 + a t s, vamos calcular a velocidade da folha nas direções vx = 4,00, m/s + 5,00, m/s^2 times 1,53, s = 4,00 + 7,65 = 11,65, m/s e vy = 0 + 7,00, m/s^2 times 1,53, s = 10,71, m/s nesse instante. Usamos a equação da velocidade com aceleração constante:
Para a direção :
Para a direção :
Como a velocidade inicial na direção era zero, temos:

Passo 7

Agora, vamos calcular o módulo da velocidade resultante da folha após os 12 metros. Usamos o teorema de Pitágoras:
|v| = raizvx^2 + vy^2 = raiz(11,65)^2 + (10,71)^2 approx raiz135,72 + 114,61 approx raiz250,33 approx 15,81, m/s

Passo 8

Para encontrar o ângulo da velocidade em relação ao eixo tan(theta) = vyvx = 10,7111,65 approx 0,920 , usamos a tangente:
theta = arctan(0,920) approx 42,5^circ
Então:

Resposta

(a) O módulo da velocidade da folha após deslocar 12,0 m é aproximadamente 15,81 m/s.
(b) O ângulo da velocidade da folha em relação ao eixo é de aproximadamente 42,5 graus.

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