(Valor 1,0) Uma folha de árvore, sobre um plano horizontal , é acelerada por um vento segundo a equação: . No instante , a velocidade da folha é
. Quais são o (a) módulo e (b) o ângulo da velocidade da folha após ter se deslocado paralelamente ao eixo .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um problema de cinemática, que é a parte da física que estuda o movimento dos objetos sem considerar as causas desse movimento. Aqui, a gente vai precisar das equações do movimento com aceleração constante. O que a gente tem é uma folha sendo empurrada pelo vento com uma aceleração dada, e queremos descobrir como a velocidade dela muda após ela se deslocar 12 metros só na direção do eixo .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a aceleração que a folha está sofrendo. A aceleração está dada pela vetorial:
Isso significa que a folha está acelerando 5 na direção e 7 na direção .

Passo 3

A velocidade inicial da folha no instante é:
Isso quer dizer que inicialmente, a folha só está se movendo na direção , com velocidade de 4 .

Passo 4

Queremos saber qual é a velocidade da folha depois que ela se deslocou 12 metros na direção . Para isso, primeiro vamos encontrar o tempo que a folha leva para percorrer esses 12 metros somente na direção .
Usamos a equação do movimento:
Onde:
  • m (deslocamento na direção )
  • m/s (velocidade inicial na direção )
  • m/s² (aceleração na direção )
Substituindo os valores:
Simplificando:

Passo 5

Agora temos uma equação quadrática:
Vamos resolver essa equação para encontrar o tempo . Usamos a fórmula de Bhaskara:
Onde , e . Calculando o discriminante:
Então:
Considerando apenas a solução positiva para o tempo:

Passo 6

Agora que temos o tempo s, vamos calcular a velocidade da folha nas direções e nesse instante. Usamos a equação da velocidade com aceleração constante:
Para a direção :
Para a direção :
Como a velocidade inicial na direção era zero, temos:

Passo 7

Agora, vamos calcular o módulo da velocidade resultante da folha após os 12 metros. Usamos o teorema de Pitágoras:

Passo 8

Para encontrar o ângulo da velocidade em relação ao eixo , usamos a tangente:
Então:

Resposta

(a) O módulo da velocidade da folha após deslocar 12,0 m é aproximadamente 15,81 m/s.
(b) O ângulo da velocidade da folha em relação ao eixo é de aproximadamente 42,5 graus.

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