A aceleração de uma particula que se move aperias em umplano horixontal x y é dada por a=3 i+4 j, onde a est em metros por segundo ao quadrado e t em segundos. Em t=0,0 vetor posição r=(20,0 m) i+(40,0 m) j indica a localizaçâo da partícula, que nesse instunte tem uma yelocidade v=(5,00 m / s) i +(2,00 m / s) j. Em de determine (b) o aingulo entre a direção do moyimento e a semi-cixo x positivo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma partícula que se move num plano horizontal com uma aceleração constante a = 3,i + 4,j (em metros por segundo ao quadrado). No instante inicial ( t=0), a posição da partícula é r = 20,i + 40,j metros, e a velocidade é v0 = 5,i + 2,j metros por segundo. Queremos descobrir o ângulo entre a direção do movimento da partícula e o eixo x positivo no instante t = 4 segundos.
Vamos precisar usar conceitos de cinemática vetorial, especificamente como calcular a velocidade em um determinado instante e, em seguida, determinar o ângulo que esse vetor velocidade forma com o eixo x.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade da partícula no instante t = 4,s. Sabemos que a velocidade varia com o tempo de acordo com a aceleração:
v(t) = v0 + a cdot t
Substituindo os valores que temos:
v(4) = (5,i + 2,j) + (3,i + 4,j) cdot 4
Calculando cada componente:
  • Componente i:
    5 + 3 times 4 = 5 + 12 = 17,i
  • Componente j:
    2 + 4 times 4 = 2 + 16 = 18,j
Então, a velocidade no instante t = 4,s é:
v(4) = 17,i + 18,j , m/s

Passo 3

Agora, queremos encontrar o ângulo theta que essa velocidade forma com o eixo x positivo. Para isso, usamos a função trigonométrica tangente, que relaciona as componentes do vetor:
tan(theta) = vjvi
Onde:
  • vj é a componente vertical da velocidade ( 18,m/s)
  • vi é a componente horizontal da velocidade ( 17,m/s)
Então:
tan(theta) = 1817
Para encontrar o ângulo theta, tiramos o arco-tangente de ambos os lados:
theta = arctan(1817)

Passo 4

Calculando o valor numérico:
theta = arctan(1817) approx arctan(1,0588)
Usando uma calculadora ou uma tabela de tangente, encontramos que:
theta approx 46,graus

Resposta

O ângulo entre a direção do movimento da partícula e o eixo x positivo no instante t = 4,s é de aproximadamente 46,graus.

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