Uma partícula se move de tal forma que seu vetor posição (em metros) em função do tempo (em segundos) é dado por r(t)=i+4 t^2 j+t k. Escreva, em função do tempo, as expressões para:
d) a aceleração média neste intervalo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula que se mexe no espaço, e a posição dela em função do tempo é dada por . O conteúdo aqui é de cinemática vetorial, e a gente vai precisar entender de vetores posição, velocidade e aceleração média para resolver essa questão.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a velocidade da partícula. A velocidade é a taxa de variação da posição em relação ao tempo, ou seja, é a derivada do vetor posição v(t) = dr(t)dt = ddt( i + 4 t^2 j + t k ) em relação ao tempo v(t) = 0 i + 8 t j + k .
v(t) = 8 t j + k
Derivando cada componente:
Então, a velocidade é:

Passo 3

Agora, vamos calcular a aceleração média. A aceleração média em um intervalo de tempo é dada pela variação da velocidade dividida pela variação do tempo.
Para um intervalo de amédia = v(t) - v(0)t - 0 até v(0) = 8 cdot 0 j + k = k , temos:
é
Primeiro, vamos encontrar :

Passo 4

Substituindo na fórmula da aceleração média:
amédia = 8 t j + k - kt = 8 t jt = 8 j é
Perceba que o cancela e o no numerador e denominador também se cancelam, deixando apenas .

Resposta

A aceleração média é é metros por segundo ao quadrado.

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