Uma partícula se move de tal forma que seu vetor posição (em metros) em função do tempo (em segundos) é dado por r(t)=i+4 t^2 j+t k. Escreva, em função do tempo, as expressões para:
b) sua aceleração;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula que se movimenta de acordo com o vetor posição r(t) = i + 4 t^2 j + t k. Nosso objetivo aqui é descobrir como está a aceleração dessa partícula em função do tempo. Para isso, vamos usar conceitos de cinemática, especificamente as derivadas do vetor posição para chegar na aceleração.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que a velocidade da partícula é a derivada do vetor posição em relação ao tempo. Ou seja, se a gente tiver r(t), a velocidade v(t) vai ser:
v(t) = dr(t)dt

Passo 3

Vamos calcular a velocidade derivando cada componente de r(t):
  • A componente i é constante (1), então a derivada dela é 0.
  • A componente j é 4t^2, então a derivada em relação a t fica 8t.
  • A componente k é t, e a derivada de t é 1.
Assim, a velocidade fica:
v(t) = 0,i + 8t,j + 1,k
Ou simplificando:
v(t) = 8t,j + k

Passo 4

Agora, para encontrar a aceleração, a gente precisa derivar a velocidade em relação ao tempo. A aceleração a(t) é dada por:
a(t) = dv(t)dt

Passo 5

Vamos derivar cada componente de v(t):
  • A componente 8t,j tem derivada 8,j.
  • A componente k é constante, então a derivada dela é 0.
Portanto, a aceleração fica:
a(t) = 8,j

Resposta

A aceleração da partícula em função do tempo é:
a(t) = 8,j

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