A aceleração de uma partícula, movendo-se em linha reta, no sentido positivo do eixo
e a partir da posição
, é dada por
, onde
é medido em metros e
.
a) Ache a relação entre a velocidade e a distância, dado que em
temos
.
b) Em que posição a velocidade da partícula anula-se? A partícula pode ir além desta posição?
a) Ache a relação entre a velocidade e a distância, dado que em
b) Em que posição a velocidade da partícula anula-se? A partícula pode ir além desta posição?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a aceleração de uma partícula que se move em linha reta ao longo do eixo
. A aceleração é dada por
, e sabemos que quando a partícula está em
, sua velocidade é
. Vamos precisar usar conceitos de cinemática e dinâmica, especialmente relacionando aceleração, velocidade e posição. Vamos resolver as duas partes:
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a relação entre a velocidade
e a posição
.
Sabemos que a aceleração
é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Mas também podemos expressar
em termos de
:
Dado que
, temos:
Agora, vamos separar as variáveis
e
:
Integrando ambos os lados:
Isso nos dá:
Onde
é a constante de integração. Para encontrar
, usamos a condição inicial
quando
:
Portanto, a relação entre
e
é:
Multiplicando ambos os lados por 2:
E isolando
:
Passo 3
Agora, vamos responder à segunda parte: em que posição a velocidade da partícula anula-se e se ela pode ir além dessa posição.
A velocidade se anula quando
:
Resolvendo para
:
Então, a velocidade da partícula se anula quando ela está aproximadamente em
.
Agora, sobre a partícula poder ir além dessa posição: observe que na expressão para
:
O que está dentro da raiz quadrada deve ser maior ou igual a zero para
ser real. Igualando a expressão a zero encontramos
. Para valores de
, o que está dentro da raiz fica negativo, o que não dá um valor real para a velocidade. Portanto, a partícula não pode ir além dessa posição.
Resposta
a) A relação entre a velocidade e a distância é
.
b) A velocidade da partícula anula-se em
. A partícula não pode ir além dessa posição.