A aceleração de uma partícula, movendo-se em linha reta, no sentido positivo do eixo x e a partir da posição x=1 m, é dada por a=-4x, onde x é medido em metros e a em m / s^2.
a) Ache a relação entre a velocidade e a distância, dado que em x=1 temos v=6 m / s.
b) Em que posição a velocidade da partícula anula-se? A partícula pode ir além desta posição?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a aceleração de uma partícula que se move em linha reta ao longo do eixo . A aceleração é dada por , e sabemos que quando a partícula está em , sua velocidade é . Vamos precisar usar conceitos de cinemática e dinâmica, especialmente relacionando aceleração, velocidade e posição. Vamos resolver as duas partes:

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a relação entre a velocidade a = dvdt e a posição a = dvdt = dvdx cdot dxdt = v dvdx .
Sabemos que a aceleração v dvdx = -4x é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
v , dv = -4x , dx
Mas também podemos expressar integral v , dv = -4 integral 1x , dx em termos de v^22 = -4 ln|x| + C :
6^22 = -4 ln(1) + C Rightarrow 18 = 0 + C Rightarrow C = 18
Dado que v^22 = -4 ln(x) + 18 , temos:
v^2 = -8 ln(x) + 36
Agora, vamos separar as variáveis v = raiz36 - 8 ln(x) e :
Integrando ambos os lados:
Isso nos dá:
Onde é a constante de integração. Para encontrar , usamos a condição inicial quando :
Portanto, a relação entre e é:
Multiplicando ambos os lados por 2:
E isolando :

Passo 3

Agora, vamos responder à segunda parte: em que posição a velocidade da partícula anula-se e se ela pode ir além dessa posição.
A velocidade se anula quando 0 = raiz36 - 8 ln(x) Rightarrow 36 - 8 ln(x) = 0 Rightarrow 8 ln(x) = 36 Rightarrow ln(x) = 368 = 4.5 :
x = e^4.5 approx 90.017 , m
Resolvendo para v = raiz36 - 8 ln(x) :
Então, a velocidade da partícula se anula quando ela está aproximadamente em .
Agora, sobre a partícula poder ir além dessa posição: observe que na expressão para :
O que está dentro da raiz quadrada deve ser maior ou igual a zero para ser real. Igualando a expressão a zero encontramos . Para valores de , o que está dentro da raiz fica negativo, o que não dá um valor real para a velocidade. Portanto, a partícula não pode ir além dessa posição.

Resposta

a) A relação entre a velocidade e a distância é .
b) A velocidade da partícula anula-se em . A partícula não pode ir além dessa posição.

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