A aceleração de uma partícula, movendo-se em linha reta, no sentido positivo do eixo e a partir da posição , é dada por , onde é medido em metros e .
a) Ache a relação entre a velocidade e a distância, dado que em temos .
b) Em que posição a velocidade da partícula anula-se? A partícula pode ir além desta posição?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a aceleração de uma partícula que se move em linha reta ao longo do eixo . A aceleração é dada por , e sabemos que quando a partícula está em , sua velocidade é . Vamos precisar usar conceitos de cinemática e dinâmica, especialmente relacionando aceleração, velocidade e posição. Vamos resolver as duas partes:

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a relação entre a velocidade e a posição .
Sabemos que a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Mas também podemos expressar em termos de :
Dado que , temos:
Agora, vamos separar as variáveis e :
Integrando ambos os lados:
Isso nos dá:
Onde é a constante de integração. Para encontrar , usamos a condição inicial quando :
Portanto, a relação entre e é:
Multiplicando ambos os lados por 2:
E isolando :

Passo 3

Agora, vamos responder à segunda parte: em que posição a velocidade da partícula anula-se e se ela pode ir além dessa posição.
A velocidade se anula quando :
Resolvendo para :
Então, a velocidade da partícula se anula quando ela está aproximadamente em .
Agora, sobre a partícula poder ir além dessa posição: observe que na expressão para :
O que está dentro da raiz quadrada deve ser maior ou igual a zero para ser real. Igualando a expressão a zero encontramos . Para valores de , o que está dentro da raiz fica negativo, o que não dá um valor real para a velocidade. Portanto, a partícula não pode ir além dessa posição.

Resposta

a) A relação entre a velocidade e a distância é .
b) A velocidade da partícula anula-se em . A partícula não pode ir além dessa posição.

Exercícios relacionados

Determine a velocidade e a posição de um corpo no instante 10s sabendo que este corpo está sob aceleração dada por:
Um corpo está se movendo em linha reta. Sua aceleração é dada por , onde é medido e . É dado que no instante e . Determine:
a) a função horária da velocidade.
b) a função horária da posição.
c) a velocidade em função da posição .
A velocidade de uma bala enquanto percorre o cano de um rifle em direção a boca da arma é dada por onde a velocidade é dada em metros por segundo e o tempo em segundos. A aceleração da bala assim que sai do cano é zero.
b) Determine o intervalo de tempo durante o qual a bala é acelerada
Uma partícula, também em movimento unidimensional, possui aceleração dada por .
a) Sabendo-se que no instante a velocidade da partícula é nula, calcule a velocidade da partícula num instante qualquer. Qual a velocidade da partícula para ?
b) Sabendo-se ainda que no instante a partícula está na posição , calcule a posição da partícula num instante qualquer. Qual a posição para e ?
c) Onde a partícula para? Em que região o movimento é acelerado? Onde é retardado? Em que região a partícula está indo? Onde está voltando?
d) Qual a velocidade e aceleração médias entre ?