Um corpo está se movendo em linha reta. Sua aceleração é dada por , onde é medido e . É dado que no instante e . Determine:
a) a função horária da velocidade.
b) a função horária da posição.
c) a velocidade em função da posição .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um corpo que se move em linha reta e sua aceleração está relacionada à velocidade pela fórmula . As unidades são dadas: em metros por segundo ( ) e em metros por segundo ao quadrado ( ). Além disso, sabemos que no instante inicial , a posição e a velocidade .
Vamos precisar usar conceitos de cinemática, especificamente relacionados à aceleração, velocidade e posição ao longo do tempo. Também vamos precisar integrar a expressão da aceleração para encontrar a função da velocidade em relação ao tempo e depois integrar novamente para achar a posição. Para a parte c, vamos relacionar velocidade e posição diretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte a): encontrar a função horária da velocidade, ou seja, .
Sabemos que aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Dada a equação da aceleração:
Então temos:
Agora, vamos separar as variáveis e para integrar:

Passo 3

Vamos integrar ambos os lados da equação:
Lembrando que:
Aplicando isso:

Passo 4

Vamos resolver para :
onde (constante de integração simplificada)
Para encontrar , usamos as condições iniciais. Quando , :
Então a equação fica:

Passo 5

Agora, resolvemos para :
Então, a função horária da velocidade é:

Resposta

A função horária da velocidade é metros por segundo.

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A aceleração de uma partícula, movendo-se em linha reta, no sentido positivo do eixo e a partir da posição , é dada por , onde é medido em metros e .
a) Ache a relação entre a velocidade e a distância, dado que em temos .
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