Uma partícula, também em movimento unidimensional, possui aceleração dada por .
a) Sabendo-se que no instante a velocidade da partícula é nula, calcule a velocidade da partícula num instante qualquer. Qual a velocidade da partícula para ?
b) Sabendo-se ainda que no instante a partícula está na posição , calcule a posição da partícula num instante qualquer. Qual a posição para e ?
c) Onde a partícula para? Em que região o movimento é acelerado? Onde é retardado? Em que região a partícula está indo? Onde está voltando?
d) Qual a velocidade e aceleração médias entre ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de movimento unidimensional! A gente tem uma partícula que está se movendo com uma aceleração que depende do tempo, dada por . A gente vai precisar usar conceitos de cálculo, especificamente integração, para achar a velocidade e a posição da partícula a qualquer instante de tempo. Vamos começar pela parte a), que pede para calcular a velocidade da partícula em qualquer instante e especificamente para e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Ou seja,
Para encontrar a velocidade , precisamos integrar a aceleração em relação ao tempo.

Passo 3

Vamos integrar para encontrar :
Integrando termo a termo:
Onde é a constante de integração que vamos determinar usando a condição inicial.

Passo 4

A condição inicial nos diz que no instante , a velocidade . Vamos usar isso para encontrar :
Então, a expressão da velocidade fica:

Passo 5

Agora que temos a expressão para , vamos calcular a velocidade nos instantes específicos solicitados: e .
Para :
Para :

Resposta

A velocidade da partícula em qualquer instante é . Especificamente, para , a velocidade é e para , a velocidade é .

Exercícios relacionados

A velocidade de uma bala enquanto percorre o cano de um rifle em direção a boca da arma é dada por onde a velocidade é dada em metros por segundo e o tempo em segundos. A aceleração da bala assim que sai do cano é zero.
b) Determine o intervalo de tempo durante o qual a bala é acelerada
A aceleração de uma partícula, movendo-se em linha reta, no sentido positivo do eixo e a partir da posição , é dada por , onde é medido em metros e .
a) Ache a relação entre a velocidade e a distância, dado que em temos .
b) Em que posição a velocidade da partícula anula-se? A partícula pode ir além desta posição?
A velocidade de uma bala enquanto percorre o cano de um rifle em direção a boca da arma é dada por onde a velocidade é dada em metros por segundo e o tempo em segundos. A aceleração da bala assim que sai do cano é zero.
c) Encontre a velocidade com a qual a bala sai do cano.
Seja o movimento de uma partícula sobre o eixo . A posição da partícula em cada instante é dada por ( é medido em segundos e em metros).
a) Qual a posição da partícula no instante e para infinito?
b) Em que instantes a partícula para?
c) Qual a região onde a partícula está em movimento acelerado? Qual a região onde o movimento é retardado?
d) Calcule .