Uma partícula, também em movimento unidimensional, possui aceleração dada por
.
a) Sabendo-se que no instante
a velocidade da partícula é nula, calcule a velocidade da partícula num instante qualquer. Qual a velocidade da partícula para
?
b) Sabendo-se ainda que no instante
a partícula está na posição
, calcule a posição da partícula num instante qualquer. Qual a posição para
e
?
c) Onde a partícula para? Em que região o movimento é acelerado? Onde é retardado? Em que região a partícula está indo? Onde está voltando?
d) Qual a velocidade e aceleração médias entre
?
a) Sabendo-se que no instante
b) Sabendo-se ainda que no instante
c) Onde a partícula para? Em que região o movimento é acelerado? Onde é retardado? Em que região a partícula está indo? Onde está voltando?
d) Qual a velocidade e aceleração médias entre
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de movimento unidimensional! A gente tem uma partícula que está se movendo com uma aceleração que depende do tempo, dada por
. A gente vai precisar usar conceitos de cálculo, especificamente integração, para achar a velocidade e a posição da partícula a qualquer instante de tempo. Vamos começar pela parte a), que pede para calcular a velocidade da partícula em qualquer instante e especificamente para
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Ou seja,
Para encontrar a velocidade
, precisamos integrar a aceleração em relação ao tempo.
Passo 3
Vamos integrar
para encontrar
:
Integrando termo a termo:
Onde
é a constante de integração que vamos determinar usando a condição inicial.
Passo 4
A condição inicial nos diz que no instante
, a velocidade
. Vamos usar isso para encontrar
:
Então, a expressão da velocidade fica:
Passo 5
Agora que temos a expressão para
, vamos calcular a velocidade nos instantes específicos solicitados:
e
.
Para
:
Para
:
Resposta
A velocidade da partícula em qualquer instante
é
. Especificamente, para
, a velocidade é
e para
, a velocidade é
.