Uma partícula, também em movimento unidimensional, possui aceleração dada por a(t)=t^2-1(m / s^2).
a) Sabendo-se que no instante t=0 a velocidade da partícula é nula, calcule a velocidade da partícula num instante qualquer. Qual a velocidade da partícula para t= 1 se t=2 s ?
b) Sabendo-se ainda que no instante t=0 a partícula está na posição x=1 m, calcule a posição da partícula num instante qualquer. Qual a posição para t=1 s e t=2 s ?
c) Onde a partícula para? Em que região o movimento é acelerado? Onde é retardado? Em que região a partícula está indo? Onde está voltando?
d) Qual a velocidade e aceleração médias entre t=1 s e t=2 s ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de movimento unidimensional! A gente tem uma partícula que está se movendo com uma aceleração que depende do tempo, dada por . A gente vai precisar usar conceitos de cálculo, especificamente integração, para achar a velocidade e a posição da partícula a qualquer instante de tempo. Vamos começar pela parte a), que pede para calcular a velocidade da partícula em qualquer instante e especificamente para e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Ou seja,
a(t) = dvdt
Para encontrar a velocidade , precisamos integrar a aceleração em relação ao tempo.

Passo 3

Vamos integrar v(t) = integral a(t) , dt = integral (t^2 - 1) , dt para encontrar v(t) = t^33 - t + C :
Integrando termo a termo:
Onde é a constante de integração que vamos determinar usando a condição inicial.

Passo 4

A condição inicial nos diz que no instante v(0) = 0^33 - 0 + C = 0 implies C = 0 , a velocidade v(t) = t^33 - t . Vamos usar isso para encontrar :
Então, a expressão da velocidade fica:

Passo 5

Agora que temos a expressão para v(1) = 1^33 - 1 = 13 - 1 = -23 , m/s , vamos calcular a velocidade nos instantes específicos solicitados: v(2) = 2^33 - 2 = 83 - 2 = 83 - 63 = 23 , m/s e .
Para :
Para :

Resposta

A velocidade da partícula em qualquer instante é . Especificamente, para , a velocidade é e para , a velocidade é .

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