Determine a velocidade e a posição de um corpo no instante 10s sabendo que este corpo está sob aceleração dada por:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa encontrar a velocidade e a posição de um corpo no instante segundos, sabendo que a aceleração dele é dada por . Para isso, vamos usar conceitos de cinemática, que é a parte da física que estuda o movimento dos corpos. Vamos precisar integrar a aceleração para achar a velocidade e depois integrar a velocidade para achar a posição.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade do corpo. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, então para achar a velocidade, precisamos integrar a aceleração em relação ao tempo. A fórmula é:
Substituindo a aceleração dada:

Passo 3

Vamos fazer a integral termo a termo:
Calculando cada integral:
Então, juntando tudo:
Aqui, é a constante de integração que representa a velocidade inicial do corpo.

Passo 4

Agora, vamos encontrar a posição do corpo. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo, então para achar a posição, vamos integrar a velocidade em relação ao tempo:
Substituindo a expressão da velocidade que encontramos:

Passo 5

Vamos integrar cada termo separadamente:
Então, a posição fica:
Aqui, é a constante de integração que representa a posição inicial do corpo.

Passo 6

Agora, precisamos determinar as constantes e . Como o problema não fornece condições iniciais, vamos assumir que no instante , a velocidade e a posição são zero.
Então, quando :
E para a posição:

Passo 7

Com as constantes determinadas, as expressões finais ficam:

Resposta

No instante segundos, a velocidade e a posição do corpo são:

Exercícios relacionados

Um corpo está se movendo em linha reta. Sua aceleração é dada por , onde é medido e . É dado que no instante e . Determine:
a) a função horária da velocidade.
b) a função horária da posição.
c) a velocidade em função da posição .
Numa colisão de um carro a com um poste, qual é o tempo durante a colisão até que o carro pare completamente? Qual o valor da desaceleração?
A aceleração de uma partícula, movendo-se em linha reta, no sentido positivo do eixo e a partir da posição , é dada por , onde é medido em metros e .
a) Ache a relação entre a velocidade e a distância, dado que em temos .
b) Em que posição a velocidade da partícula anula-se? A partícula pode ir além desta posição?
A velocidade de uma bala enquanto percorre o cano de um rifle em direção a boca da arma é dada por onde a velocidade é dada em metros por segundo e o tempo em segundos. A aceleração da bala assim que sai do cano é zero.
b) Determine o intervalo de tempo durante o qual a bala é acelerada