Determine a velocidade e a posição de um corpo no instante
10s sabendo que este corpo está sob aceleração dada por:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa encontrar a velocidade e a posição de um corpo no instante
segundos, sabendo que a aceleração dele é dada por
. Para isso, vamos usar conceitos de cinemática, que é a parte da física que estuda o movimento dos corpos. Vamos precisar integrar a aceleração para achar a velocidade e depois integrar a velocidade para achar a posição.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a velocidade do corpo. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, então para achar a velocidade, precisamos integrar a aceleração em relação ao tempo. A fórmula é:
Substituindo a aceleração dada:
Passo 3
Vamos fazer a integral termo a termo:
Calculando cada integral:
Então, juntando tudo:
Aqui,
é a constante de integração que representa a velocidade inicial do corpo.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a posição do corpo. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo, então para achar a posição, vamos integrar a velocidade em relação ao tempo:
Substituindo a expressão da velocidade que encontramos:
Passo 5
Vamos integrar cada termo separadamente:
Então, a posição fica:
Aqui,
é a constante de integração que representa a posição inicial do corpo.
Passo 6
Agora, precisamos determinar as constantes
e
. Como o problema não fornece condições iniciais, vamos assumir que no instante
, a velocidade e a posição são zero.
Então, quando
:
E para a posição:
Passo 7
Com as constantes determinadas, as expressões finais ficam:
Resposta
No instante
segundos, a velocidade e a posição do corpo são: