Determine a velocidade e a posição de um corpo no instante t= 10s sabendo que este corpo está sob aceleração dada por: a(t)= 2 t^2-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa encontrar a velocidade e a posição de um corpo no instante t = 10 segundos, sabendo que a aceleração dele é dada por a(t) = 2t^2 - 1. Para isso, vamos usar conceitos de cinemática, que é a parte da física que estuda o movimento dos corpos. Vamos precisar integrar a aceleração para achar a velocidade e depois integrar a velocidade para achar a posição.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade do corpo. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, então para achar a velocidade, precisamos integrar a aceleração em relação ao tempo. A fórmula é:
v(t) = integral a(t) , dt
Substituindo a aceleração dada:
v(t) = integral (2t^2 - 1) , dt

Passo 3

Vamos fazer a integral termo a termo:
v(t) = integral 2t^2 , dt - integral 1 , dt
Calculando cada integral:
integral 2t^2 , dt = 23t^3
integral 1 , dt = t
Então, juntando tudo:
v(t) = 23t^3 - t + C1
Aqui, C1 é a constante de integração que representa a velocidade inicial do corpo.

Passo 4

Agora, vamos encontrar a posição do corpo. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo, então para achar a posição, vamos integrar a velocidade em relação ao tempo:
x(t) = integral v(t) , dt
Substituindo a expressão da velocidade que encontramos:
x(t) = integral ( 23t^3 - t + C1 ) , dt

Passo 5

Vamos integrar cada termo separadamente:
integral 23t^3 , dt = 23 cdot t^44 = 16t^4
integral (-t) , dt = -t^22
integral C1 , dt = C1 t
Então, a posição fica:
x(t) = 16t^4 - t^22 + C1 t + C2
Aqui, C2 é a constante de integração que representa a posição inicial do corpo.

Passo 6

Agora, precisamos determinar as constantes C1 e C2. Como o problema não fornece condições iniciais, vamos assumir que no instante t = 0, a velocidade e a posição são zero.
Então, quando t = 0:
v(0) = 23(0)^3 - 0 + C1 = 0 Rightarrow C1 = 0
E para a posição:
x(0) = 16(0)^4 - (0)^22 + 0 cdot 0 + C2 = 0 Rightarrow C2 = 0

Passo 7

Com as constantes determinadas, as expressões finais ficam:
v(t) = 23t^3 - t
x(t) = 16t^4 - t^22

Resposta

No instante t = 10 segundos, a velocidade e a posição do corpo são:
v(10) = 23(10)^3 - 10 = 23 cdot 1000 - 10 = 20003 - 10 approx 653,33 , m/s
x(10) = 16(10)^4 - (10)^22 = 16 cdot 10000 - 1002 = 100006 - 50 approx 1583,33 , m

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